双曲旋转

双曲旋转(revolution of hyperbolic)是一种平面仿射变换，即将双曲线绕其中心旋转的平面仿射变换，在平面直角坐标系中，双曲旋转的计算公式为：x'=xchφ+y(a/b)shφ,y'=x(b/a)shφ+ychφ1。

双曲旋转的定义和总的描述下面说明关于把双曲线变成它自已的非常重要的平面仿射变换2。

取任意一对相交的直线,来讨论把这两条直线的每一条都变成它自己而且不改变它们的方向的等仿射变换(也就是不改变面积的仿射变换).为了说明这个变换的结构,在所取的直线的一条上从这些直线的交点放一个向量e₁,在另一条上放一个向量e₂.设e'₁和e'₂是这些向量的象.向量e'₁与e₂共线而且方向相同.所以

这儿τ是一个正数.然而这时候

因为只有这样,作在向量e'₁,e'₂上的平行四边形才与作在向量e₁,e₂上的平行四边形面积相等,向量e'₁的方向才与向量e₁的方向相同.公式(1)和(2)指出,在所取的直线互相垂直时，所讨论的变换简单地就由向着第一条直线(也就是放上向量e₁的直线)系数为τ的压缩和向着第二条直线系数为倒数1/τ的压缩合成。在直线并不互相垂直的情形,类似我们可以地说，变换由向着第一条直线平行于第二条直线系数为τ的“斜压缩”和向着第二条直线平行于第一条直线系数为倒数1/τ的“斜压缩”合成.这些“斜压缩”的正确定义恰恰就是公式(1)和(2)所给的，反之,两个这样的“压缩”的结果显然是一个等仿射变换，它把“压缩”轴线变到自身而且保留它们的方向不变。

从双曲线的几何定义可以推出，在所说的变换下，以所取的直线作为渐近线的每个双曲线,都变成它自己,并且还把它的每一支变成自己.实际上,在所说的变换下,这种双曲线的每个点和它的象，对于作为坐标轴的渐近线说,在等面积的坐标平行四边形,并且落在同一个坐标角里,这就是说,它们在同一个双曲线上而且还在同一支上.

由于这个原因，所写的仿射变换叫作平面关于一对已知直线的双曲旋转.这对直线叫作双曲旋转的渐近线.渐近线的交点叫作双曲旋转的中心.如果渐近线中间的角是直角，则双曲旋转叫作正的，否则就叫作斜的.这样一来，正双曲旋转把等边双曲线变成自己，而斜双曲旋转则把不等边双曲线变成自己(自然在这两种情形里所说的双曲线都是以旋转的渐近线作为它的渐近线的双曲线).

显然,利用把已知双曲线变成自己的适当的双曲旋转,它的任意点可以变成双曲线同一支上的任意别的点.

恒等变换是双曲旋转的特别情形,它是在公式(1)和(2)里τ=1的双曲旋转.

双曲旋转可以看作是平面的连接变换的结果，这时两条渐近线都变成自己，而且其中的一条向着中心压缩,另一条成比例地伸长，而不在旋转渐近线上的点则画出具有这些渐近线的双曲线，并且落在渐近线所组成的同一对对顶角里的所有点，它们的半径向同一个方向旋转，而落在邻补角里的点的半径则向相反的方向旋转.

附言 在特别相对论里占有基本地位的著名的洛伦兹变换，从几何观点看来不是别的,正是双曲旋转.洛伦兹变换的公式是双曲旋转的公式,但是并不是对于渐近线说的，而是对于双曲线的对称轴说的,而且用有物理意义(速度)的参数v来表达。v很容易用τ来表达。

从双曲旋转的等仿射性容易推出,同一个双曲线上所有的点从中心出发的半径(对于共轭双曲线也一样)扫过等面积的双曲扇形.实际上,设M₁和M₂是双曲线的任意两个点,M'₁和M'₂是它们在把这个双曲线变成自己的双曲旋转下的象.根据双曲线对于中心的对称性，只需要证明当M₁和M₂落在同一支上的情形(图1).双曲扇形OM'₁M'₂是双曲扇形OM₁M₂的象，因为双曲旋转是等仿射的，所以这两个扇形等面积.于是由半径OM₁和OM₂所扫过的扇形OM₁M'₁和OM₂M'₂也等面积，因为它们从等面积的扇形OM₁M₂和OM'₁M'₂加上或者减去同一个扇形OM₂M'₁而得到2。

相关讨论1.夹在双曲线和它的渐近线中间的面积的无限性

从双曲旋转的等仿射性质便推出,夹在双曲线和它的渐近线中间的面积是无限的.实际上,我们来讨论双曲线上一个点M从中心O出发的半径OM(图2).在把已知双曲线变成自己的双曲旋转下,半径OM变成一一个半径OM'.重复这个双曲旋转,我们把半径OM'变成OM"等等.双曲扇形MOM',M'OM",M"OM'",...的面积全部相同,因为第二个扇形从第一个经过双曲旋转而得到,第三个从第二个经过同一个双曲旋转而得到等等.由于这些扇形等面积，而且它们显然不重叠,所以这些面积全体是无限大量,我们的断言也就证明了。

2.把双曲线变成自己的任意仿射变换

显然，除掉双曲旋转以外,把双曲线变成自己的还有对于对称轴的反射和对于中心的反射(也就是同时对于两条对应轴作反射,或者说是绕着中心旋转180°也一样).容易看出,每一个把已知双曲线变成自己的仿射变换或者是纯粹的双曲旋转，或者是双曲旋转加上所说反射的一个(特别说来,双曲旋转可以是恒等变换).实际上，在仿射变换下，任意曲线的渐近线还变成这条曲线的渐近线(直线是渐近线的性质是仿射的).所以把双曲线变成自己的仿射变换,也把它的渐近线集合变成自己。因此，从双曲线中心沿着渐近线放的向量e₁，e₂，在这种仿射变换下还变成沿着渐近线行进的向量。此外，向量e₁，e₂只能变成下列甲种形状的各对向量之一

(这儿τ>0)，这就是说，所讨论的仿射变换或者是双曲旋转,或者是双曲旋转加上对于双曲线的一-条渐近线，对于另一条渐近线或者同时对于两条渐近线的反射(并且当τ=1时，双曲旋转就变成恒等变换)2。

双曲旋转的系数如果我们采用双曲旋转的渐近线之一作为第一条，另一条作为第二条，则每个具有已知渐近线的双曲旋转，就由它所产生的向着第一条轴线所作平行于第二条的压缩的系数τ所唯一决定.这个数目τ叫作对于已知的一对有顺序的渐近线说的双曲旋转的系数.当渐近线的号码变成相反的时，同一个双曲旋转就由倒数系数1/τ决定;这就是我们所以要把渐近线编号的原因。

早先已经说过,系数为1的双曲旋转是恒等变换。

不难看出，对于任意一对有顺序的渐近线说的双曲旋转，在任意的仿射变换下，诱发对于这一对渐近线的象的双曲旋转,并且有同一个系数τ。

实际上，在原先的双曲旋转下，落在第一条渐近线上的所有向量都乘上1/τ，而落在第二条渐近线上的所有向量都乘上τ，于是诱发出来的变换就使落在渐近线的象上的所有向量分别乘上同一个数目1/τ或者τ。这说明诱发出来的变换是关于原先渐近线的象的双曲旋转，并且只要对于新的一对渐近线保留同样的编号，这个双曲旋转也有系数τ。

双曲旋转的角对于一对有顺序的渐近线说的双曲旋转还可以由它的“角”决定.完全与椭圆旋转的角相似,双曲旋转的角定义作为任意点从旋转中心出发的半径所扫过的扇形面积的两倍、与作在这个点所画弧的双曲线的任意一对共轭半径，上平行四边形(特别说来是作在半轴，上的长方形)面积之比值，因为有已知渐近线的所有双曲线都同位相似，所以这个比值与半径的取法无关.这时半径所扫过的面积，因而也就是双曲旋转的角，按下列规则决定正负号.让我们来讨论那样一对对顶角，它们是由第一条渐近线在绕着中心反时针方向直到与第二条渐近线重合的旋转下所写成的.在任意的具有已知渐近线的双曲旋转下,落在这一对对顶角里的点的半径,或者都作反时针方向的旋转,或者都顺时针方向的旋转.我们把这些半径反时针方向所扫过的面积算作正的，顺时针方向所扫过的面积算作负的.在另一对对顶角里所有的半径向着相反的方向旋转;那儿我们把顺时针方向所扫过的面积算作正的，反时针方向所扫过的面积算作负的.总之,在一个双曲旋转下，如果落在第一对对顶角里的半径反时针方向旋转，则这个双曲旋转的角算作正的，否则算作负的。恒等的双曲旋转(也就是当作双曲旋转着的恒等变换)的角等于零。显然，角为正的双曲旋转有系数τ>1，角为负的则有系数τ