初等λ矩阵

单位矩阵经过一次λ-矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等λ-矩阵，共三类：P(i，j)，P(i(k))，P(i，j(φ(λ)))，它们是可逆的，且(P(i，j))-1=P(i，j)，(P(i(k)))-1=P(i(1/k))，(P(i，j(φ(λ))))-1=(P(i，j(φ(-λ))))。对一个s×n的λ-矩阵A(λ)作一次初等变换就相当于在A(λ)的左边乘上相应s×s的初等矩阵；对A(λ)做一次初等列变换就相当于A(λ)在的右边乘上相应的n×n的初等矩阵1。

基本介绍初等λ矩阵(elementary λ-matrices)是一类简单的λ矩阵。指三种形状简单且经常使用的λ矩阵，数域P上的n阶λ矩阵中，下列的三种矩阵称为初等λ矩阵：

1.P(j(d))=E+(d-1)Ejj，d∈P，且d≠0 (j=1，2，…，n)；

2.P(i，j(b(λ)))=E+b(λ)Eij(i，j=1，2，…，n，且i≠j)；

3.P(i，j)=E-Eii-Ejj+Eij+Eji(i，j=1，2，…，n，且i≠j)，

其中E为n阶单位矩阵，Eij是矩阵单位，b(λ)是λ的多项式。初等λ矩阵都是可逆的，且

P(i(d))-1=P(i(d-1))，

P(i，j(b(λ)))-1=P(i，j(-b(λ)))，

P(i，j)-1=P(i，j)2。

定理 矩阵A(λ)是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。

推论 两个s×n的λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件为，有一个s×s可逆矩阵P(λ)与一个n×n可逆矩阵Q(λ)，使B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ)。

相关介绍λ矩阵的初等变换是与初等λ矩阵密切相关的λ矩阵的三种变换的统称，下列的三种变换称为数域P上的λ矩阵的初等变换：

1.用数域P中非零数d乘矩阵的第j行(列)；

2.把矩阵的第j行(列)的b(λ)倍加到第i行(列)；

3.互换矩阵的第i行(列)与第j行(列)。

设A(λ)是数域P上的m×n的λ矩阵，对A(λ)的行(列)施行变换1，相当于用m(n)阶初等矩阵P(j(d))左(右)乘A(λ)；施行变换2，相当于用m(n)阶初等矩阵P(i，j(b(λ)))左(右)乘A(λ)；施行变换3，相当于用m(n)阶初等矩阵P(i，j)左(右)乘A(λ)。

说明：

1. λ-矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换的差别:前两类变换是一样的,但第三类初等变换是将某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上，不再是一个常数倍3。

第二类变换之所以仍然是乘以非零的常数c，而不是乘以一个非零的多项式，是为了使初等变换能够可逆。

2.与数字矩阵一样,把单位矩阵E经过一次初等变换得到的λ-矩阵称为λ-初等矩阵；并且，λ-初等矩阵都是可逆的。

3.对一个s×n的λ-矩阵A(λ)作一次初等行变换就相当于对A(λ)左乘一个相应的s×s初等矩阵；对A(λ)作一次初等列变换就相当于对A(λ)右乘一个相应的n×n初等矩阵。

4.矩阵A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件是存在λ-初等矩阵,使得

如果A(λ)与B(λ)等价,那么|A(λ)|与|B(λ)|只相差一个非零常数，但是，与数字矩阵的情形不同，两个秩相同的λ-矩阵A(λ)与B(λ)却不一定等价，例如: 和的秩都为2，但是|A(λ)|=1≠λ=|B(λ)]，即|A(λ)|与|B(λ)|不相差一个非零常数，从而不等价3。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学