广义Fibonacci数列

广义斐波那契序列(generalized Fibonacci sequence)是斐波那契数的推广。由递推关系F(m)1=F(m)2=…=F(m)m-1=0，F(m)m=1，F(m)m+n=F(m)n+F(m)n+1+…+F(m)n+m+1，n≥1所产生的序列，称为m级广义斐波那契序列。

基本介绍广义斐波那契序列由递推关系

所产生的序列1，称为m级广义斐波那契序列，其通项表达式为

式中s=0，1，2，…;k=1，2，…，m。设ω为方程

的惟一正根，则

相关介绍定义及通项表达式人们对Fibonacci数列的研究兴趣历时几百年而不衰，后来又将这个数列进行推广，得到了广义Fibonacci数列。2004 年，马巧云利用生成函数得出了广义Fibonacci数列的一个通项表达式。

广义Fibonacci数列由如下的递推公式给出:

特别的当q=0,p= 1时，记作{fn}，称为熟知的Fibonacci数列。其通项公式为:

当q=2,p=1时记作{Ln}称为Lucas数列。其通项公式为:

广义Fibonacci数列与Fibonacci数列{fn}符合如下的关系式

著名的Fibonacci数列有许多通项表达式和性质。陈淑贞，曾庆年利用数学归纳法和特征方程求根的方法对广义Fibonacci数列进行研究，得到了两个通项表达式和一个性质2。

周期性Wall D D1960年证明了广义Fibonacci数列以任意正整数为模的模数列是周期数列，袁明豪在2007年也得到了类似结论。

黄金分割数吴强将Fibonacci数列进行了推广，利用生成函数的方法得出广义Fibonacci数列的通项及广义Fibonacci数列任意相邻四项之间的关系，讨论了这种数列的前后项之比的收敛性及极限仍然为黄金分割数2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学