赋范可除代数

在数学中，一个赋范可除代数A是一个在实数域或复数域上的可除代数。

定义赋范可除代数是一个定义了范数的可除代数。

性质胡尔维兹定理胡尔维兹定理【1,2,4,8定理，阿道夫·胡尔维兹，1898】：任何带有单位元的赋范可除代数同构于以下四个代数之一：实数R、复数C、四元数H和八元数O。

其中，R、C、H是结合代数，O是交错代数（结合性的一种弱形式）。

其它性质唯一的复数域上的赋范可除结合代数是复数域自身。

赋范可除代数是合成代数的一种特殊情况。合成代数是具有可乘的二次型的幺代数。通常的合成代数不必是可除的，相反，它可能含有零因子。实数域上的合成代数提供了三种额外的代数：分裂复数、分裂四元数和分裂八元数。

其它对实赋范可除代数的分类始于弗洛比纽斯，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。1

胡尔维兹完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。

基本思路：如果一个代数A是成正比于1的，那么它同构于实数。否则，我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于凯莱数（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为A。

胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学