环行问题

环行问题(circuit problem)是一种特殊路线的行程问题，指行驶路线为环状的行程问题。有以下两种情况：1.同时同地同向而行，求第一次相遇时间，计算公式为：第一次相遇时间=环周长÷速度差；2.同时同地背向而行，求第一次相遇时间，计算公式为：第一次相遇时间=环周长÷速度和1。

基本介绍两个物体沿环路作同向或反向运动的行程问题，叫做环行问****题。它有时是相遇问题(如果两物沿环路作反向运动)，有时是追及问题(如果两物沿环路作同向运动)。解答这类题，必须弄清两点:①在相遇问题中，两物从同时同地离开到相遇的路程和是环路一周的长;②在追及问题中，从同时同地同向行到追及的路程差也是环路一周的长2。

说明与例题解析相关说明环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分。事实上，这类问题也有“相遇”与“追及”之分3：

(1)若同地出发，反向而行， 则每次相遇，两者的行程之和等于环形的周长。

(2)若同地出发，同向而行， 则每次追及，两者的行程之差等于环行道的周长。或表为

快者的行程=慢者的行程+环形周长，

此外，若是同时出发，则相遇(或追及)时，两者行走的时间相等。

例题解析【例1】王老师和李老师在学校400米环形跑道上跑步，王老师每分钟跑225米，李老师每分钟跑275米。如果两人同时伺地向相同方向起跑， 那么经过几分钟李老师第一次追上王老师; 如果两人同时同地向相反方向起跑，那么经过几分钟两人第一次相遇2?

分析与解 两人同时同地向相同方向起跑，李老师第一饮追.上王老师时，李老师比王老师正好多跑了一周， 即“路程差”是400米。因此，追及时间是：

400÷(275－225) = 400÷50=8(分钟)

两人同时同地向相反方向起跑，两人第一次相遇时，他们跑过的路程和正好是一周，即400米。因此，相遇的时间是:

400÷(275+225)=400÷500=0.8 (分钟)

答:如果两人向相同方向起跑，经过8分钟，李老师第一次追上王老师；如果两人向相反方向起跑， 经过0.8分钟，两人第一次相遇。

【例2】一个湖，周长3000米。甲乙二人由湖滨同时同地出发练习跑步，甲每分钟跑160米，乙每分钟跑240米。如果两人向相反方向起跑，那么经过多少分钟两人第一次相遇?如果两人向相同方向起跑，那么经过多少分钟乙第一次追上甲?

分析两人同时同地向相反的方向起跑， 第一次相遇的时候，他们所跑过的路程和正好是湖的一周，即3000米。 用这个路程和除以两人的速度和，就求出了第一次反向相遇的时间。

两人同时同地向相同的方向起跑，第一次相遇的时候，即乙第一次追上甲的时候，乙正好比甲多跑湖的一用，即3000米， 这3000米就是路程差。用这个路程差除以两人的速度差，就求出了乙第一次追上甲所用的时间。.

解: 3000÷( 160+240) =7.5(分钟).

3000÷( 240-160) =37.5 (分钟)

答: 如果两人向相反的方向起跑，经过7.5分钟两人第一次相遇；如果两人向相同的方向起跑，经37. 5分钟乙第一次追上甲4。

【例3】甲、乙两人在周长400米的圆形跑道上练习跑步。已知甲每分钟跑350米，乙每分钟跑310米。如果两人是同时同地出发，那么从出发到第一欢相遇要用多长时间?

分析 由于甲比乙跑得快，而跑道又是圆周形，所以两人出发后，就好像是甲在追赶乙。当甲追上乙时，也就是两人相遇了。由于两人是同地出发的， 所以当甲追上乙时应是甲比乙恰好多跑了1圈，也就是多跑了400米。因为甲每分钟比乙多跑350-310=40米，所以，400里有多少个40，便是追及时所用的时间。

解: 400÷(350- 310) =10(分钟)

答:从出发到第一次相遇用了10分钟4。

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所