对称多面角

对称多面角(symmetric polyhedral angles)是两个特殊相关的多面角，两个面数相同的多面角，如果它们对应的面角和二面角分别相等。但排列顺序相反，这两个多面角称为对称多面角。对顶多面角就是对称多面角的一种，两个对称多面角，虽然它们的对应部分相等．但把其中一个放在另一个上面，对应部分不一定处处重合，所以对称多面角不一定是全等多面角1。

基本概念对称多面角是两个特殊相关的多面角，互为中心对称、轴对称、镜面对称的多面角的统称。两多面角中，如果一个是另一个的中心对称图形、轴对称图形、镜面对称图形，则分别称它们是互为中心对称、轴对称、镜面对称的多面角，或者分别说一个多面角是另一个多面角的中心对称、轴对称、镜面对称多面角，统称一个是另一个的对称多面角。成轴对称的两个多面角，可以通过空间绕轴旋转使一个与另一个重合，而成镜面对称或中心对称的两个多面角常需要除平移和旋转外再作一次镜面反射才能使一个与另一个重合，因此，对称的两个多面角总是相等的，其中，只有轴对称多面角才是同向相等的2。

还有的书对对称多面角的定义是这样的：

（1）如果两个面数相同的多面角，它们对应的面角和二面角分别相等，但排列的顺序相反，这两个多面角，叫做对称多面角。（2）如果把多面角S-ABCD的各棱经过它的顶点S向反向延长，就构成另一个多面角S-A'B'C'D'，这样的两个多面角S-ABCD和S-A'B'C'D'是关于S点为对称的。在关于某点对称的两个多面角中，各对应的二面角相等，各对应的面角也相等，但是在一个多面角中的面角和二面角的位置顺序和它的对称多面角中的对应面角和二面角的位置顺序恰好相反3。

显然这两个定义说的是“中心对称多面角”。

相关结论定理 两个对称多面角是成镜照相等，但不一定全等3。

如图4中，多面角V-ABC和多面角V-A₁B₁C₁是对称多面角，MN是∠CVA₁的平分线，如果把多面角V-A₁B₁C₁绕着MN为轴翻转一个平角，则棱VA₁和VC相重合，棱VC₁和VA相重合，且两个面角A₁VC₁和AVC相重合。

但是二面角VA₁不一定等于二面角VC，因此二面角VA₁也就不一定能和二面角VC重合，所以平面A₁VB₁也不一定和平面CVB重合，同样地两个平面C₁VB₁和AVB也不一定重合，因而棱VB₁可以落到另一个位置如VB₁，但和VB不相重合。

可知：两个多面角V-ABC和V-A₁B₁C₁，虽然它们是成对称，但它们的对应部分却不一定都处处重合，也就是这两个多面角不一定是全等的。

关于这一点，我们可以想象到常用的手套，可以把两只手套排成对称形，但是如果要把它的一只套在另一只上面，由于手心、手背以及五个指头的顺序不同，是不可能的。

只有两个面数相同的正多面角，它们既是成对称(即镜照相等)，又是全等的3。

本词条内容贡献者为:

李岳阳 - 副教授 - 江南大学