变态圆

变态圆（Abnormal circle）是一种特殊的圆，指半径为零和无限长的圆，将点和直线分别看做半径为零及半径为无限长的圆，这两种圆称为变态圆。点作为变态圆时又称为点圆1。

变态圆方程以 表示笛卡尔直角坐标，那么圆的方程可表为：

如果用齐次坐标，以 代入上式，就得到

这是在齐次坐标下的圆的方程。当 时，(1)式变为 ，这表示两条直线 和无穷远直线t=0，所以当 时，圆分解为两条直线，其中一条是无穷远直线， 我们把这两条直线所组成的二阶曲线叫做变态圆。

二阶曲线的射影定义是两个射影线束对应直线交点的全体。当这两个射影线束是透视线束时，对应直线交点的全体称变态二阶曲线。联接两线束中心的直线是自对应直线，所以这联线上任意一点都可以看作是交点。这样，变态二阶曲线是两直线或者是两点列，其中一条是两线束中心联线， 另一条就是对应直线交点所在直线。变态圆是变态二阶曲线，以 为射影齐次坐标，变态圆所在的两条相交直线为

与

上。

首先，我们看两线束中心在直线 上的情况。两线束直线分别以 与 表示。因为对应直线的交点在直线 ，所以必然有 对应直线斜率相等，即 2。

定义 在平面的直角坐标系里，两虚点(1,i,0)和(1，-i，0)叫做圆点，分别以I,J表示3。

相关定理定理1两线束 与 ，当 为对应直线时，两线束成透视对应，对应直线交点的全体构成变态圆。

定理2 两线束 与 (其中 为确定的数且 )，当 (a为非零常数)为对应直线时，两线束成透视对应，对应直线交点的全体构成变态圆2。

定理3 二阶曲线成为圆(常态圆或变态圆)的充要条件是它通过两个圆点I和J3。

变态圆的射影定义 变态圆为两线束 与 当两线束中心在直线 上，以 为对应直线交点的全体；当两线束中心都不在直线上，以 为对应直线交点的全体2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所