变更问题法作图

变更问题法作图(construction by changing problem)是解作图题的一种常用方法，一些几何作图题，当对原题直接作图较繁或较困难时，可将原题变更(转化)为另一种类型的已知问题或易解问题，这样可以化繁为简，化难为易1。

基本介绍几何作图题在分析、作图的过程中，为了达到化繁为简，变难为易的目的，常采用将求解的问题变换成另一种易解的问题，这类方法称为变更问题法。

变更问题法是将所要求的复杂问题，转换成另一个较易解决的新问题来解决。不言而喻，新问题必须与原问题相关联，解决了新问题，原问题就自然得到解决1。

例如求两平面的夹角（图1），这时可以不直接求角，而是可以自两平面外的任一点K向两平面引垂线KM、KN，再求出KM、KN间的夹角，则其补角即为要求的二面角。这样就把求两平面夹角的空间问题转变为平面问题1。

举例分析【例1】试求直线KL与△ABC平面的倾角(图2(a)) 。

分析：如图3所示，求直线KL与平面P的夹角，可自直线上任一点K，向平面P作垂线KM，设垂线KM与已知直线KL的夹角为，则其余角就是直线KL与平面P的夹角。

2

作图步骤(图2(b))：

(1)自K点向△ABC引垂线KM；

(2)在KM上取一点M，使LM为水平线，连接L、M两点；

(3)求△KLM的实形k'L1M2，则∠L₁k'M₂为KL与KM的夹角；

(4) KL与KM夹角的余角，即为所求1。

【例1】在定圆内求作等腰三角形，使其底为定圆的一弦，顶点为一定点，腰与底之比为一定比3。

已知 一定圆O、一已知点A及二比例线m、n。

求****作 等腰△ABC，其底为弦BC，顶点为已知A点，且BC:AB =m:n。

分析 设图已成。因等腰三角形的腰和底的比一定，则其相似三角形可定，故本题可简化为:先在适当位置作一相似等腰三角形，再作出需求的等腰三角形，从而定出弦BC的位置。这一作图问题是容易解决的。

作BC边上的高AD，因AD垂直平分BC，知AD必过O点,因此可在过A点的直径上先作相似等腰三角形△A'B'C'，再由A点作对应边的平行线，即可确定B、C二点。

作法 (1)过A点作直径EF；以EF为底边的高线作等腰三角形△A'B'C'，使B'C'=m、 A'B'= A'C'=n。

(2)过A点分别作A'B'、A'C’的平行线，交圆O于B、C二点，连BC，弦BC即为所求。

证明 据作图，等腰三角形△A'B'C'底边B'C'的高作在直径EF上，又知AB// A'B'、AC// A'C’,可知∠A=∠A'、 ∠BAF=∠CAF，则知AB=AC (证明从略)，△ABC是等腰三角形;在两个等腰三角形△ABC和△A'B'C'中，因知一角相等∠A=∠A',必为两个相似三角形， 即△ABC∽△A'B'C'，则知

BC:AB= B'C':A'B'= m:n。

弦BC符合作图要求。

讨论本题的解数决定于A点的位置，可分如下三种情况:

(1)当A点落在圆内时，有两解；

(2)当A点落在圆上时，有一解;

(3) 当A点落在圆外时，为了便于讨论，设∠A'=α,设A点对圆O的视角为β,其解数又可分为以下三种情况:

①若β>α,有两解;

②若β=α，有一解;

⑧若β