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科技工作者之家 2020-11-17
变更问题法作图(construction by changing problem)是解作图题的一种常用方法,一些几何作图题,当对原题直接作图较繁或较困难时,可将原题变更(转化)为另一种类型的已知问题或易解问题,这样可以化繁为简,化难为易1。
基本介绍几何作图题在分析、作图的过程中,为了达到化繁为简,变难为易的目的,常采用将求解的问题变换成另一种易解的问题,这类方法称为变更问题法。
变更问题法是将所要求的复杂问题,转换成另一个较易解决的新问题来解决。不言而喻,新问题必须与原问题相关联,解决了新问题,原问题就自然得到解决1。
例如求两平面的夹角(图1),这时可以不直接求角,而是可以自两平面外的任一点K向两平面引垂线KM、KN,再求出KM、KN间的夹角,则其补角即为要求的二面角。这样就把求两平面夹角的空间问题转变为平面问题1。
举例分析【例1】试求直线KL与△ABC平面的倾角(图2(a)) 。
分析:如图3所示,求直线KL与平面P的夹角,可自直线上任一点K,向平面P作垂线KM,设垂线KM与已知直线KL的夹角为,则其余角就是直线KL与平面P的夹角。
2
作图步骤(图2(b)):
(1)自K点向△ABC引垂线KM;
(2)在KM上取一点M,使LM为水平线,连接L、M两点;
(3)求△KLM的实形k'L1M2,则∠L₁k'M₂为KL与KM的夹角;
(4) KL与KM夹角的余角,即为所求1。
【例1】在定圆内求作等腰三角形,使其底为定圆的一弦,顶点为一定点,腰与底之比为一定比3。
已知 一定圆O、一已知点A及二比例线m、n。
求****作 等腰△ABC,其底为弦BC,顶点为已知A点,且BC:AB =m:n。
分析 设图已成。因等腰三角形的腰和底的比一定,则其相似三角形可定,故本题可简化为:先在适当位置作一相似等腰三角形,再作出需求的等腰三角形,从而定出弦BC的位置。这一作图问题是容易解决的。
作BC边上的高AD,因AD垂直平分BC,知AD必过O点,因此可在过A点的直径上先作相似等腰三角形△A'B'C',再由A点作对应边的平行线,即可确定B、C二点。
作法 (1)过A点作直径EF;以EF为底边的高线作等腰三角形△A'B'C',使B'C'=m、 A'B'= A'C'=n。
(2)过A点分别作A'B'、A'C’的平行线,交圆O于B、C二点,连BC,弦BC即为所求。
证明 据作图,等腰三角形△A'B'C'底边B'C'的高作在直径EF上,又知AB// A'B'、AC// A'C’,可知∠A=∠A'、 ∠BAF=∠CAF,则知AB=AC (证明从略),△ABC是等腰三角形;在两个等腰三角形△ABC和△A'B'C'中,因知一角相等∠A=∠A',必为两个相似三角形, 即△ABC∽△A'B'C',则知
BC:AB= B'C':A'B'= m:n。
弦BC符合作图要求。
讨论本题的解数决定于A点的位置,可分如下三种情况:
(1)当A点落在圆内时,有两解;
(2)当A点落在圆上时,有一解;
(3) 当A点落在圆外时,为了便于讨论,设∠A'=α,设A点对圆O的视角为β,其解数又可分为以下三种情况:
①若β>α,有两解;
②若β=α,有一解;
⑧若β