布罗卡尔三角形

布罗卡尔三角形(Brocard triangle)是一些特殊点构成的三角形：1.设S为△ABC的外心，K为它的陪位重心，以SK为直径作圆，称这个圆为△ABC的布罗卡尔圆，该圆交三边的勒穆瓦纳平行线于A′，B′，C′，则△A′B′C′称为第一布罗卡尔三角形。2.若K为△ABC的陪位重心，连结AK，BK，CK，与△ABC的布罗卡尔圆分别交于A″，B″，C″，则△A″B″C″称为第二布罗卡尔三角形1。

基本概念如图1，从△ABC的外心O0至类似重心K，以OK为直径作圆，称为布罗卡尔圆。

从O垂直于原三角形的各边，作三线，交布罗卡尔圆于A'，B'，C'，那么△A'B'C'称为第一布罗卡尔三角形。

从△ABC的各角顶至K，作三线，交布罗卡尔圆于A"，B"，C"，那么△A"B"C"称为第二布罗卡尔三角形。

从△ABC的各角顶，平行于△A'B'C'的各边，作三线，共交于一点S，该点称为施泰纳点。

相关证明【例1】三角形的第一布罗卡尔三角形以布罗卡尔圆为外接圆2。

分析 设中O为外心，K为类似重点，为正Brocard点，为负Brocard点，为第一Brocard三角形，如图2，为证B1在以OK为直径的圆上，只须证明∠OB₁K=90°。

注意到△B₁A2A3是等腰三角形，底角等于ω，故B₁在A2A3的垂直平分线O1O上，而且B1O1=。

因此，欲证OB₁⊥B₁K，只须证明B₁K//A2A3，为此，可证明K到A2A3的距离KK1=B1O1=。

KK₁= KQ₃sinA₁，KQ₃：R=tgω，式中R表的外接圆半径，故

故B₁在OK为直径的圆上。同理可证B₂，B₃亦在此圆上，即第一Brocard三角形内接于Brocard圆。

【例2】与其第一布罗卡尔三角形有透视关系，即A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃共点D。

证： 如图2，A₁B₃，A₂B₁，A₃B₂共点，A₁B₂，A₂B₃，A₃B₁共点，即与有透视关系，又与有透视关系，与亦有透视关系，即A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃交于一点D。

设过A₁，A₂而且切A₃A₁于A₁的圆，与过A₁，A₃而且切A₁A₂于A₁的圆交于点C₁，过A₂, A₃而且切A₁A₂于A₂的圆，与过A₂A₁而且切A₂A₃于A₂的圆交于点C₂，过A₃，A₁而且切A₂ A₃于A₃的圆与过A₃, A₂而且切A₃A₁于A₃的圆交于点C₃，则△C₁C₂C₃叫做的第二Brocard三角形2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学