弓形面积公式

弓形面积公式(area formula of the segment of a circle)是平面几何的基本公式之一，用来计算弓形面积的公式。把弓形弧两端与圆心连结得一个扇形和一个三角形，当弓形弧为劣弧时，弓形面积等于扇形面积减去三角形面积；当弓形弧为优弧时，弓形面积等于扇形面积加上三角形面积1。

基本介绍设弓形AB所对的弧为弧AB，那么:

当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。

当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr²。

当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。

计算公式分别是:

当弧 是劣弧时， 。

当弧 是半圆时， 。

当弧 是优弧时， 。

其中， 为弧对应的角度， 为半径， 为弦长， 为三角形的高。

l为弧长，h'为弓形的高。

证明：

通常，弓形是一个扇形减去一个三角(劣弧弓)或一个扇形加上一个三角(优弧弓)。观察三角形，可以发现这是一个等腰三角。它的两个腰是扇形的半径。弓形的弦长和三角形的底或者说三角形除去两个腰以后的第三条边相同。对劣弧弓来说，三角的高h加上弓形的高h'就是扇形半径；而对于优弧弓，弓形的高h'减去扇形半径r就是三角的高h。

而扇形的面积计算可以采用。而在三角形中，弓形的弦和三角型的高线以及弓形半径正好构成一个直角三角形。这样就有或 (勾股定理)

其中，左式适用于劣弧弓，右式则适用于优弧弓。左式展开得。右式展开得。可以看出左右两式完全一致。从中得出

对于劣弧弓，其三角形面积是；对于优弧弓，其三角形面积是

对于劣弧弓面积，就是展开后

优弧弓面积是展开后得

仔细观察劣弧弓和优弧弓面积的展开式。可以发现两者完全一样。

把前面求出的r值代入得

通分，得，分子中，第一，第三项提取公因子，第二、四项提取公因子则分子部分变成。这样，整个式子就成了。证明完毕。

在不知道或者不能测定弓形半径的时候可以使用这个式子计算弓形面积。

广义弓形面积公式由一条圆弧和经过该弧的两个端点的弦所围成的图形叫做圆弓形，通常也叫做弓形。

更一般地，把曲线和弦所围成的图形叫做弓形。例如，抛物线和弦所围成的图形AOC (下图)，古希腊阿基米得曾求得了这一抛物线弓形的面积的公式：对于弓形AOC，过弦AC的中点作弓形弧所在抛物线的对称轴的平行线，和抛物线交于点B，则弓形AOC面积= 4/3△ABC面积2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所