简单n点形

简单n点形(simple n-gon)是一种简单的平面图形，即由平面上的n个点(n≥3，其中无三点共线)及它们顺次两两连结的n条直线所组成的平面图形，这n个点称为简单n点形的顶点，n条直线称为简单n点形的边，简单n点形与简单n线形是平面上互相对偶的图形1。

基本介绍简单n线形指n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点所构成的图形，这n条直线称为边，n个交点称为顶点2。简单n点形是指n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线所构成的图形，这n个点称为顶点，n条直线称为边。

如果一个简单n点形的n个顶点都在一条二次曲线上，则称这个简单n点形内接于一条二次曲线。

我们将简单六点形简记为123456，而12，45；23，56；34，61称为其三对对边。

对于简单n点(线)形，表1和表2分别给出了n=3和n=4的情形，显然，对于给定的n个点(或n条直线)，由它们所构成的简单n点形(简单n线形)与这n个点(n条直线)的排序有关。此外，这两类图形与初等几何中的多边形也是不同的概念。

|| || 表 1 n=3，简单三点形和简单三线形

|| || 表 2 n=4，简单四点形和简单四线形

相关定理巴士卡(Pascal)定理对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上(如图1)。这条直线称为该二阶曲线的巴士卡线。

巴士卡定理的逆定理若简单六点形的三对对边的交点在一条直线上，则该简单六点形内接于一条二阶曲线。巴士卡定理是巴士卡(1623-1662)于1639年发现的，1806年布利安香(1785-1864)发现了其对偶定理。

布利安香(Brianchon)定理 对于任意一个外切于非退化的二级曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线过一个点(如图2)。这个点称为该二级曲线的布利安香点。

布利安香(Brianchon)定理的逆定理也成立3。

巴士卡定理的极限形式所谓极限形式，是指简单六点形有某些相邻顶点重合，内接简单六点形实际上成为简单五点形，四点形，三点形。此时，连结重合的相邻顶点的边成为切线，将切线作为边，套用巴士卡定理即可。

1.一对相邻顶点重合，五点形情形

定理1 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上(如图3)。

2.两对相邻顶点重合，四点形情形

将四点形的一对对顶点视为重合顶点时，有

定理2内接于一条非退化的二阶曲线的简单四点形两对对边的交点及其对顶点的切线的交点必共线(如图4)。

将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点时，有

定理3内接于一条非退化二阶曲线的简单四点形，一对对边的交点与其对顶点的切线的交点，三点共线(如图4)。

3.三对相邻顶点重合,三点形情形

定理4 内接于一条非退化的二阶曲线的三点形，其每一顶点的切线与对边的交点，三点共线(如图5)。

当二阶曲线退化时，巴士卡定理在一定情形下也成立。

例如，二阶曲线退化成两条直线，若六个点分为两组，设三点1、3、5在一条直线上，而另有三点2、4、6在另一条直线上，则三个交点L=12×45、M=23×56、N=34×61也在一条直线上(如图6)。本结论正是巴卜斯定理3。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所