平面正交变换

平面上的一个点变换(点变成点的变换)，如果保持点之间的距离不变，则称它为正交变换(或等距变换)，正交变换具有众多性质，比如正交变换的乘积是正交变换，恒等变换是正交变换等。

定义平面的一个点变换，如果保持点之间的距离不变。则称它为正交变换(或保距变换)1。

平面正交变换的性质从定义可知正交变换具有下述性质：

性质1 正交变换的乘积仍是正交变换。

性质2 恒等变换是正交变换。

性质3 (1) 正交变换把共线的三点变成共线的三点，且保持它们的顺序不变。

(2) 正交变换把不共线的三点变成不共线的三点1。

证： (1)设A，B，C是共线的三点，且B位于A，C之间，正交变换σ把A，B，C分别变成A'，B'，C'，则|A'B'|=|AB|，|A'C'|=|AC|，|B'C'|=|BC|，由假设，|AB|+|BC|=|AC|，则|A'B’|+|B'C'|=|A'C'|，这表明A'，B'，C'三点共线，且B'在A'C'之间。

(2)设D，E，F是不共线的三点，则|DE|+|EF|>|DF|，设正交变换σ把D，E，F分别变成D'，E'，F'，则|D’E’|十|E'F'|>|D'F'|，这表明D'，E'，F'三点不共线。

由性质3即得

性质4 正交变换把直线变成直线，把线段变成线段。

性质5 正交变换是可逆的，且逆变换仍是正交变换。

证： 设σ是正交变换，A，B是平面上不同的两个点，则，即σ把不同的点A，B变成不同的点。这证明σ是单射，还可以证明σ是满射，因而σ是双射，把σ的逆变换记为，易见也是正交变换。

性质6 正交变换把平行直线变成平行直线。

证：设σ是正交变换，设∥，由性质4，σ把直线变成直线，如果与交于M'，则，这与∥矛盾，所以∥。

性质7 正交变换保持向量长度与夹角。

证： 设向量，定义，易见性质7成立。

性质8 正交变换把平面直角坐标系变成平面直角坐标系。

证： 设为平面直角坐标系，σ为正交变换，记，则为平面直角坐标系(由性质7)。

定理1 设正交变换σ把直角标架变成直角标架，其中，

即，则σ在直角坐标系中的表示是

其中是正交矩阵。

证： 设，则，设

由

结合(2)与(3)，就得到(1)。

注：（1）表示平面上的平移，旋转反射或它们的复合1。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所