矩阵代数式

代数式包括有理式（整式，分式）和无理式。在线性代数中用矩阵（向量）代替代数式中的实数，得到的代数式称为矩阵代数式。矩阵代数式遵守代数式的规律，同时具备特殊规律。

矩阵代数式简介根据矩阵的性质，矩阵代数式的使用范围不同。例如相似矩阵代数式只能在相似矩阵之间使用。对等价，相似，合同矩阵代数式，加单位矩阵（或者常量矩阵），不改变矩阵性质，等式仍然成立。矩阵等式“除法”用两端乘以逆矩阵实现，要求矩阵（因式）可逆12。

相似矩阵代数式矩阵的相似变换（两端）定义式：

若A ~ B，则(P^-1)AP=B

推理：矩阵A的复合表示形式的相似变换：

1、线性计算式：(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP

2、矩阵乘法式：(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP)

说明：相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律

定理 相似矩阵的性质

1、数量性

①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB

② |λE-A|=|λE-B|

③ 相似矩阵的特征值相同

④相似矩阵的迹相同（=∑λi用在对角矩阵的全部特征值)

2、秩

⑤相似矩阵（等价）的秩相同。

3、伴随矩阵集：

⑥A^-1 ~ B^-1

⑦A^T ~ B^T

4、矩阵计算

⑧与常量矩阵加法运算的相似不变性

任给实数t， tE-A ~ tE-B

⑨幂的相似不变性 A^k ~ B^k

5、构造分块矩阵

⑩两对相似矩阵可分别构造两个对角线分块矩阵，保持相似不变性。

说明：①|λE-A|=|λE-B| ，但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。

相似矩阵的特征值相同，但是特征向量不同。 实际上，矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。不一定每一个划分相似集合中都有对角矩阵。因此A ~ B不一定能都相似一个对角矩阵。

实对称矩阵代数式定义式：①A=A^T，A是实对称矩阵。

定理 实对称矩阵的性质

.1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。

.2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T

.3④矩阵 与转置矩阵的相乘得对称矩阵：

A(A^T)= (A(A^T))^T，同理：(A^T)A。

所以，对称矩阵都是方阵。

定理 实对称矩阵的正交相似性

任意一个实对称矩阵，一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵Q，使得

⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

说明： 是T的特征值构成的对角形矩阵。

定理 实对称矩阵的正定性

实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C，使

⑥(C^T)AC=E

定理 实对称矩阵正定的充要条件

.1 ⑦全部特征值>0

⑧|A|>0

⑨各阶顺序主子式 >0

.2构造(分解表示形式)

⑩A=(P^T)P，P可逆(根据⑥)。

存在正交矩阵Q,与对角矩阵合同且相似.

⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

.3 A的正惯性指数为n

说明:正定矩阵一定是对称矩阵.

定理 正定矩阵(实对称矩阵类)的性质

.1计算特性

kA,A^T,A^-1,A^*都是实对称正定矩阵.

说明:这四个矩阵都可写出⑤,⑦~⑩.

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所