多重比较法

多重比较法是多个等方差正态总体均值的比较方法。经过方差分析法可以说明各总体均值间的差异是否显著，即只能说明均值不全相等，但不能具体说明哪几个均值之间有显著差异。t检验只能说明两个均值的差异是否显著。比较m个均值，需要单独进行(m/2)=m(m-1)/2次t检验，不但工作量大，而且误差也大。多重比较法可以克服这些缺点1。

基本介绍通过方差分析，若检验得各水平均数之间无显著性差异，则不需作进一步处理，但是当各水平均数之间有显著性差异时，则需进一步分析哪些水平间的差异是显著的，哪些是不显著的，这种比较称为多重比较法2。

因为方差分析的主要目的是通过F检验讨论某因素对指标的影响与否，借以对两组以上的平均数进行差异的显著性检验，得到一个整体性的检验结果。如果经F检验的结果差异不显著，说明试验因素对试验指标无显著影响，至此检验结束。如果检验结果差异显著，则只是说明试验因素的所有水平作为一个整体对试验指标的影响显著，而不能说明各水平两两之间的差异显著。因为各水平组中只要有一对平均数的差异显著就会导致方差分析结果的差异显著。若想找出哪一对或哪几对均数的差异显著，则需进一步对各水平组的平均数进行比较。当然这不能用t检验进行比较，而需要用多重比较法进行检验。

多重比较与方差分析联系密切，但多重比较并不一定非要在方差分析之后进行。有时对多个均数进行两两比较，可直接使用多重比较法。由此可知，多重比较法实际上是一种检验是否成立的方法，具体的检验方法很多，常用的有： 图基法、谢弗法、邓肯法等3。

多重比较法的一般提法是：假设要比较m个未知参数μi(i=1，…，m)，其估计量i服从正态分布N (μi，aiiσ2)，和的协方差，其中是未知常数，aij是已知常数。特别，若aii=1，aij=0(i≠j)，则μ1，…，μm是m个独立等方差正态总体的均值。多重比较法，基于μ1， …，μm的一类线性函数——线性对比(ci已知且)，求出一切线性对比的联合置信区间，进而找出非零线性对比，并据此在m(m-1)/2对参数中找出差异显著者。

多重比较法举例图基法图基法(Tukey's Method)又称T多重比较法，是用来比较均值和(g≠h)的所有可能的两两差异的一种联立检验( a simultaneous test) ( Tukey,1953)。目标是为所有两两比较构建100(1-α)%的置信区间。

这种方法的基础是学生化的极差分布( studentized range distribution)。令r为从均值为μ、方差为σ2的正态分布中得到的一些独立观察的极差(即最大值减最小值),令v为误差的自由度数目(多重比较中为N-G)。则学生化的极差可以定义如下:

这样，图基法就给出了如下的均值比较的置信区间:

其中,cg是G组中的任意比对( arbitrary contrasts) ,通常有约束条件为。

图基法原本设计为比较两个均值μ1和μ2，故在“±”号后的第一项就成为:

虽然以上方法要假定各组容量相等，图基(Tukey,1953)和克雷默( Kramer ,1956)也发展出一种修正后的检验,其中在式(2)中用的谐和均值替换了ng。在许多统计教材中都有q的分布4。

谢弗法谢弗法( Scheffé's method) 又称S多重比较法，也为多重比较构建一个100(1 -α) %的联立置信区间( Scheffé,1953,1959)。区间由下式给出:

其中，，表示自由度为G-1和N-G的F分布的100(1 -α)百分数点。

谢弗法更具有普适性，因为所有可能的对比都可用它来检验统计显著性，

而且可为参数的相应线性函数构建置信区间4。

图基法和谢弗法的比较作为两种主要的多重比较方法，图基法和谢弗法各有其优缺点，总结如下：

1.谢弗法可应用于样本量不等时的多重比较，而原始的图基法只适用于样本量相同时的比较。

2.在比较简单成对差异( simple pairwise differences)时，图基法最具效力，给出更窄的置信区间，虽然它对于广义比对( general contrasts) 也可适用。

3.与此相比，对于涉及广义比对的比较，谢弗法更具效力，给出更窄的置信区间。

4.如果F检验显著，那么谢弗法将从所有可能的比对(contrasts)中至少检测出一对比对是统计显著的。

5.谢弗法应用起来更为方便，因为F分布表比图基法中使用的学生化极差分布更容易得到。

6.正态性假定和同方差性假定对于图基法比对于谢弗法更加重要4。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所