克罗内克尔因式分解

克罗内克尔因式分解法是德国数学家克罗内克尔发现并拟定出的方法(1845)，是把具有有理系数的多项式分解成不可约因子的方法，这种方法在一般情况下总要检验大量的已知多项式值的因数的组合，显得十分繁杂而难以实用。

基本介绍对于多项式

往往需要判别其在有理数域上是否是可约多项式，如果是可约多项式，至少求出其两个因式。

如果不考虑常数因子，可以将看成是整系数多项式。根据高斯引理亦可假设该多项式的未知因式是整系数多项式1。

如果是可约的整系数多项式，则存在有和，使恒等式成立。不失讨论的一般性，不妨假设的次数m不超过，即的整数部分。对于x的m+1个不同的整数值，的值为整数，未知因式和相应的值亦应是整数。

另一方面，和的值只能是数的因数，因为每个整数只可能有有限多个整因数，所以只能是的整因数之一，只能是的整因数之一，…，只能是的整因数之一。因此未知因式的一组数值一定包含在相应数值的所有可能的因数组合(正数或负数的)之中。对于这些值的每一个m+1因数的组合，可按拉格朗日插值公式或其它方法求得一多项式，然后再用所得多项式去除已知多项式。

应用这种方法逐一检验值的所有因数组合直到得到多项式，用它可整除已知多项式而无剩余。除以所得之商就是多项式的第二个因式。仿此可对所得两个多项式和中的每一个再行分解。照这样分解下去便可将多项式分解成数个因式之积(假如它们存在)。

这个方法是德国数学家克罗内克尔发现并拟定出的方法(1845)。

虽然继克罗内克尔之后一些数学家(如龙格等)对这个方法进行了实质性的改进，但这种方法在一般情况下总要检验大量的已知多项式值的因数的组合，显得十分繁杂而难以实用，值得注意的是雅可夫金经过深入研究，探讨了在各方面更简单而实用的新方法1。

克罗内克尔克罗内克尔(Kronecker，Leopold 1823.12.7-1891.12. 29)是德国数学家。柏林大学教授(1883)。柏林科学院院士(1861)，英国皇家学会会员(1884)。对代数学及数论方面有贡献。研究了任意线性方程组的联立检验法，给出求带有理系数的已知多项式有理因子的方法。提出数论方面的克罗内克尔定理。倡导数学的算术化和证明的严密性，与魏尔斯特拉斯函数论学派及康托尔集合论学派进行了长期论战。对方程式论、椭圆函数论、交换环论亦有研究2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学