克莱茵曲面

克莱茵曲面是由德国数学家克莱茵首先研究的，又称克莱茵壶或克莱茵瓶，是一种单侧曲面，克莱茵曲面亦是拓扑学的基本图形之一。把两个莫比乌斯带沿着边界黏合起来便构成克莱茵曲面（用两个莫比乌斯带顺着它们的边缘粘合而得到的闭单侧曲面）。又可以把一个环面剪辑成克莱茵曲面，先在环面上打一个孔，然后在离孔较远的地方截断这个环面，再把其一截断口插入那个孔内，并将这截断口与另一截断口从其内侧边缘黏合起束，便完成一个三维的克莱茵曲面。由此可知，克莱茵曲面是单侧曲面(即单面的曲面)。但是莫比乌斯带是二维的，而克莱茵曲面却是在三维空间里的。从拓扑不变量来看，克莱茵曲面是没有边缘的，它只有一个面，而其连通阶却是2。

基本介绍在三维空间克莱茵曲面可以由一个两端开口的管子(图1)来构成，让管子较细的一端穿过管壁，再让管子两端接合即可(图2)。

克莱因瓶(Klein bottle)是德国数学家克莱因于1882年首先构造出的一个不能定向的闭曲面，是拓扑学中的著名例子。克莱茵瓶是将正方形的两组对边分别按下图示箭头方向迭合得到的闭曲面。从这构造方法可知，沿着它上面一条适当的闭曲线剪开，就成为牟比乌斯带，因此它是不能定向的。除非自身相交，它不能嵌入3维欧氏空间，但可嵌人4维欧氏空间，如下图是克莱因瓶的示意图1。

相关知识介绍几何图形在任何拓扑变换之下不变的性质叫作拓扑性质。拓扑学研究图形的拓扑性质，不仅如此，它还研究几何图形的拓扑变换以及任意的连续变换。

下面这些都是拓扑性质：曲线或曲面的闭性质，闭曲线是简单闭曲线的性质(也就是说，只含有一环)，闭曲面被它上面任意闭曲线分割的性质(球面具有这个性质，而环面不具有这个性质)，等等2。

在曲面上引闭曲线，使得把它们放在一起不组成曲面的划分，也就是说，不把曲面分割为不连接的部分。在一个曲面上所能够引的这样的闭曲线的最大数目，叫作这个曲面的连通阶。这个数目将使我们得到对于曲面拓扑结构的最重要的知识。我们可以看到，对于球面来说，它等于零(球面上的任何闭曲线组成划分)，在环面上可以找到两条闭曲线，它们合起来还不致于分割环面，其中之一可取任意一条子午线，另一则取任意的平行环(图1)。 但是在环面上不存在三条共同不分割这个曲面的闭曲线，环面的连通阶等于2，像图2里的面包，它的表面就是一个连通阶等于4的闭曲面，等等。一般地说，在一个球面上开2p个小圆洞(图3上是p=3的情形)，而把这些圆洞配为p对，在每一对上粘一个圆柱面(沿着边粘)，则得到一个手柄。 这样我们就得到了一个带有p个手柄的球面，或者叫作亏格为p的规范曲面，这个曲面的连通阶等于2p。

用罗巴切夫斯基的说法，所有这些曲面都是空间的“截面”：它们每一个都把空间分为两个区域，内部与外部，而它们自己是这两个区域的公共边界。这个性质又与另一个性质有关，那就是这些曲面当中的每一个都具有两侧：外侧与内侧(其中一侧可以用一种颜色涂满，而另一侧则可用另一种颜色来涂)。

莫比乌斯带

但是与这些曲面并存的还有所谓单侧曲面，对它们来说无从区别两侧。最简单的例子就是熟知的“莫毕鄂斯带子”（即”莫比乌斯带“）。把一个长方形纸条ABCD的AB边与CD边粘合，但粘时使顶点A合于顶点C，顶点B合于顶点D，我们就得到如同图4所画的曲面，它叫作莫****毕鄂斯带子。不难看出，在莫毕鄂斯带子上不能区分两侧，不能用不同的颜色来涂满两个侧面：沿着带子的中线运行，从点E开始运行一周以后再回到点E时，虽然不曾经过带子的边界，但已到了与原来出发时不同的一侧。 顺便指出，莫毕鄂斯带子的边界是由单独一条闭曲线所组成。

克莱茵曲面

于是产生了这样的问题：是不是存在单侧闭曲面，也就是说，不具有边界的单侧曲面?这种曲面是存在的，但如果把它们置放在三维空间里，则必然会发生自己与自己相交的情况。典型的单侧闭曲面的例子就如同图5里所画的，叫作“单侧环面”或克莱茵曲面。 如果要避免自己交叉，设想把两个莫毕鄂斯带子沿着边界粘合起来便得到克莱茵曲面(如同上面曾经提到过的，莫毕鄂斯带子的边界只含有一条周线)。

现在我们可以来陈述曲面拓扑学的基本定理应用于双侧曲面的情形：任何一个双侧闭曲面必同胚于某个亏格为p的规范曲面，也就是“具有p个手柄的球面”。两个双侧闭曲面同胚，当且仅当它们具有相同的亏格p(相同的连通阶2p)，也就是说，它们同胚于具有同样多数目手柄的球面。

对于单侧曲面来说，也有“规范形式”，类似于亏格p的双侧曲面所有的规范形式，但是比较难以表现出来，要得到这种规范形式，取一个球面来，在上面开p个圆洞，在每个洞上粘一个莫毕鄂斯带子，使得带子的边界与圆洞口的边界粘合，试图作这种粘合时将碰到困难，因为根本不可能在空间里具体地实现，在施行这样的粘合时，必然又将导致曲面的自己交叉，而这种交叉是在空间里实现单侧闭曲面的模型时所不可避免的。

不能认为单侧闭曲面只是数学里的趣谈，而与严肃的科学问题无关。要证实这种想法的错误，只需以射影几何的产生为例证，这是几何思想的一大成就，这门学科的原理现在已被列入大学或师范学院的课程中，射影几何学的实际应用起源于配景理论，是在文艺复兴时期(列昂纳都·达·芬奇)由于建筑、绘画与技术制图的需要而产生。射影几何学最初一些定理的发现是十六——十七世纪的事，是由于纯粹实用上的需要而产生，射影几何的发展成为几何学在纯理论方面的一个最突出的推广，特别，在它的基础之上，人们初次彻底地理解了罗巴切夫斯基的非欧几何学。

要从初等几何里所讨论的普通平面得到射影平面，只需在平面上补充一些抽象的元素，所谓非正常点或“无穷远点”， 仅当作了这种补充以后，从一个平面到另一个平面的射影(从射影灯到银幕的射影)才是从一个平面到另一个的一对一变换，把平面补充以非正常点，在解析几何里就相当于从通常的笛卡儿坐标过渡到齐次坐标。也可以按照下述的方式来描写：每一条直线补充了唯一的一个非正常点(“无穷远点”)；两条直线具有相同的无穷远点当且仅当它们是平行的，添加了唯一的无穷远点以后，直线变成了闭曲线，而所有各直线上无穷远点的全体按定义组成非正常的或无穷远直线。

因为平行的直线具有共同的无穷远点，所以，要表达出在平面上补充无穷远点的实际步骤，只需考虑通过平面上某个定点的直线，例如通过坐标原点O的直线(图6)，这些直线的无穷远点已经把平面上所有的无穷远点包罗无遗(因为每一条直线与通过点O的平行直线具有同一个无穷远点)。因此，我们得到了射影平面的一个“模型”，这个模型是在一个以O为中心，具有“无穷大”半径的圆里，把圆周上每一对对径点(同一条直径的两个端点)粘合为直线AA’唯一的“无穷远”点而得到的，整个圆周就变成了无穷远直线，但这时必须记牢，圆周上的每一对对径点是看作互相等同的一点的，由此立刻可以看出，射影平面是闭曲面，它没有边界。

如果在射影平面上考虑一条形状如双曲线(见图6)的二次曲线，则很显然这条双曲线在射影平面上是一条闭曲线(只不过是被无穷远直线分割成两部分)。既然我们取作基本圆的圆周上每一对对径点是粘合为一的，则不难看出，在图6上用阴影表示的双曲线内部同胚于普通的圆，而射影平面上没有阴影的其余部分则同胚于莫毕鄂斯带子。因此，从拓扑的观点来看，射影平面是把圆形(在我们的情形是双曲线内部)与莫毕鄂斯带子沿着边界粘合以后所得的结果。 由这里就立刻推知，射影几何所研究的基本对象——射影平面，是一个单侧的闭曲面。

除了极其重要的几何意义以外，射影平面的有趣之点还在于它突出地表现了近代几何思想的一个特点，这种特点是基于罗巴切夫斯基的发现而形成的，由于几何图形这个概念的特征，几何的思想总是抽象的。现在，它又进一步抽象化，如同我们所说的，在普通平面上补充进新的抽象元素——非正常点来，当然，这些抽象元素也反映了现实实际中的事物(每个“非正常点”不过就是一束平行直线的抽象化)，但它们在我们的考虑中只是一种抽象的几何元素，这种元素只能不完全地(不能予以物理实现地)用粘合某个圆周上对径点后的结果来表示。在整个近代拓扑学里，类似的抽象构造具有很大的价值，特别是当从曲面进入到三维或高维流形时，情况是如此2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学