清研智库：解读传染病的传播模型

来源：清研智库

信息、技术、行为、信念、以及传染病在人群中的传播，在科学家眼中，这些事都可以和传染病的传播进行类比。传播学在一定程度上就是传染病学。

传染病模型在通信科学、市场营销学、流行病学的研究中发挥着核心作用。让我们先来看三个基础概念。

第一个概念叫“相关人群”，代表所有可能会感染这个病毒的人的总数，用字母N代表相关人群的总数。

如果卖一本书，相关人群就是所有可能买这本书的人。请注意这是有意义的可能性，也就是说真把这本书摆在读者面前，他一定会买。销售人员要解决的问题仅仅是怎么让读者知道这本书的存在。所以相关人群不等于全中国的人口，相关人群是市场上限。

第二个概念叫“已感染人群”，这些易感者可能会感染传染病、了解信息或采取行动。已经感染了病毒的人数，用It表示，t代表时间。

第三个概念叫“未感染人群”，是此时此刻相关人群中剩下的、还没有被病毒感染的人群，用St表示。

这三个概念有一个公式：

信息、病毒等的传播，基本上有两种方式。一种叫广播，一种叫扩散。

我们可以同时允许广播和扩散来对这些传播情况建模，由此而得到的模型被称为巴斯模型（Bass Model），它在营销学中起着核心作用。巴斯模型会生成r形曲线还是S形曲线，则取决于广播过程和扩散过程之间的相对优势。

广播模型刻画了思想、谣言、信息或技术通过电视、广播、互联网等媒体进行的传播。大多数时事新闻都是通过广播形式传播的。这个模型的目标是描述一个信息源传播信息的过程，可以是政府、企业或报纸。它也适用于通过供水系统传播污染的情况。但是，这个模型不适用于在人与人之间传播的传染病或思想。

通俗点来说，广播式传播，是我们都从公共渠道获得信息。它的特点是每天的感染概率是一样的。

比如最近的新型冠状病毒的网络传播。假设各地官方发布当天有30%的人可能知道这件事儿。那如果你第一天没看新闻，没关系，第二天媒体上仍然在报道和讨论，你还是有30%的可能性收到……然后第三天还可能收到……你在几天之内，终将收到消息。

那为什么每天的概率都一样呢？这当然是为了模型的简化。不过这已经是个很不错的近似。广播的传播公式是：

其中这个Pb就是感染概率。通过简单的数学计算，广播这种模式的传播曲线是下面这样的——

其中横坐标是时间，纵坐标是被感染的总人数。

新闻发布第一天收到消息的人数肯定是最多的，所以我们看到广播曲线初期的增长速度非常快，越来越慢，最后达到N，也就是所有人都被感染了。

新闻的传播、知名品牌发布新产品之后的销售情况，基本都是广播式的。

第二种传播方式叫“扩散”。扩散是人传人，就好像病毒一样，我们是被自己接触到的人给传染。扩散的特点是已经被感染的人越多，传染的速度就越快。

包括我们现在面临的新型冠状病毒等大多数传染病，以及关于产品、思想和技术突破的信息，都是通过口口相传而传播开来的，扩散模型刻画了这些过程。

扩散模型假设，当一个人采用了某种技术或患上了某种传染病时，这个人有可能将之传递或传染给与他接触的人。在传染传染病的情况下，个人的选择不会在其中发挥任何作用。一个人患上某种传染病的概率取决于诸如遗传、病毒（细菌），甚至环境温度等因素。在炎热潮湿的季节，疟疾的传播速度要比在寒冷干燥的季节快得多。

假定人群是随机地混合在一起，那么扩散传播的公式是

其中的Pd代表扩散传播的概率，也是一个常数，但是我们看到，这时候新被感染的人数跟已经被感染的人数在人群中所占的比例有关。扩散的传播曲线是常说的“S曲线”——

上面这张图是Google+服务推出之后，用户的增长情况。Google公司并没有搞大张旗鼓的宣传，主要靠人传人。一开始好几天使用的人数都很少，所以传播速度也慢，然后终于在第五天迎来拐点。等到相关人群都用上了，扩散就算结束。整个过程是开始慢、中间快、后来又变慢。

其实，传播病的传播和手机作为一个新技术被人们采纳的曲线，都满足S曲线。

一开始我们并没有新型冠状病毒疫情的严重性，仍旧不戴口罩出门，但是等我们发现所在城市出现了疫情，当地人们开始戴上了口罩，我们就开始注意防寒保暖、室内通风和个人卫生。

手机也是一样，一开始人们并没有使用手机的习惯，新闻媒体的说服力并不大。但是等到我们发现身边的人开始用手机之后，才意识到手机的确有用，你才会去买手机。

对改变生活习惯来说，你的朋友比媒体更有说服力。

还有一个传播路径值得我们注意。这里说一个SIR 模型（易感者、感染者、痊愈者），这个模型在流行病学中占据了中心位置。

SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的基本再生数R0，也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。某种传染病，如果R0大于1，那么这种传染病就可以传遍整个人群，而R0小于1的传染病则趋于消失。在这个模型中，信息、传染病并不一定会传播到整个相关人群。能不能做到这一点取决于R0的值。因此，像疾病控制中心这样的政府机构必须依据对R0的估计来指导政策制定。

第一个患上传染病的节点可能是中心节点，也可能是外围节点。如果中心节点患上了某种传染病，那么它可以将传染病传播到任何一个其他节点。我们预计这种传染病会扩散，即便传播的概率很低也是如此。如果是一个外围节点患上了传染病，那么唯一可能被传染的节点就是中心节点。

如果中心节点患上了传染病，那么即使传播的可能性很小，传染病也会蔓延。对于中心辐射型网络，R0携带的信息量很有限，因为如果中心节点患上了传染病，传染病就会传播开来。

通俗而言，在传染病传播方面，并非所有感染者的传染性都一样，一些患者传染性更强。实际上，80%的感染都是由20%的感染者传播的，这种现象被称为80/20法则。这一现象并不是只出现在人类中，动物也是如此，传播包括病毒和细菌感染。一个著名的例子就是2003年爆发的传染性非典型肺炎SARS。香港和新加坡75%的患者由超级传播者感染。全球观察到这种现象的其他感染性疾病包括肺结核、麻疹、霍乱以及埃博拉病毒出血热症。

流行病学家们将位置在度很高的中心节点上的人称为“超级传播者”（superspreaders）。超级传播者加速了艾滋病和SARS的早期传播。

超级传播者不一定是社交明星或“人脉”特别广的人，可能从事某种特定的行业职业，比如收费站的收费员、银行柜员、牙科医生，这类职业使他会与属于不同社交网络的人接触。生活在19世纪与20世纪之交的“伤寒玛丽”（Typhoid Mary）只是纽约的一名上门服务的厨师。她从这一家再到另一家，将伤寒感染给每一个接触者。当她被确认为传染源之后，就被强制隔离了。

为了推导出高度数节点的影响，我们首先要注意到一个事实：高度数节点不但能够更快地传播传染病，而且会更快地患上传染病。

如果一个人朋友的数量是另一人的三倍，那么他患上传染病的可能性也是后者的三倍，同时传播这种传染病的可能性也是后者的三倍。因此，他对传染病传播的总贡献将是另一个人的九倍。

本文摘编自湛庐文化/浙江人民出版社出版的斯科特·佩奇(Scott Page)《模型思维》一书