乞贝雷夫法

一种采用n个特定位置的不等间距坐标,以n次抛物线近似代替实际曲线,以计算该曲线下一定区域内面积的数值积分法。

基本概念梯形法和辛浦生法,都是采用等间距的纵坐标值乘上不同的系数相加,即得所求曲线下的面积。能否找到一个方法,即应用不等间距的各纵坐标值之和,再乘上一个共同的系数来得到曲线下的面积。乞贝雪夫就是基于这个思想,用n次抛物线代替实际曲线,采用不等间距的n个纵坐标计算该抛物线下在给定区间的面积,以此近似地代替曲线下的面积,这时曲线下面积A为n个纵坐标值之和,再乘上一个共同系数p。p值为曲线底边边长L除以纵坐标数目n,即p=L/n,则1

如果曲线CD用9次抛物线替代,其9个纵坐标位置如图1所示。乞贝雪夫法的各纵坐标对称于原点布置,其数学分析可归结为寻找各个纵坐标距原点的距离和共同系数p,如各纵坐标位置已确定,则可在曲线图形上量得各纵坐标的数值,相加后再乘上一个共同系数,即得到曲线CD下的面积。由于所取的纵坐标数目不同,其相应的位置亦不同。1

推导三个坐标的乞贝雪夫法。如图2所示,已知曲线CD及其底边长度L,现取个纵坐标,其值为y1,y2及y3,坐标原点取在曲线底边cd的中点O。取曲线CD下面积的表达式为：1

为了确定上式中三个纵坐标的位置(其中y2在坐标原点处)和一个共同系数p,假定曲线CD用三次抛物线方程替代,即1

（1）

式中,a0,a1,a2,a3为常数,则曲线CD下的面积将由定积分公式给出

（2）

所设三次抛物线必须通过各纵坐标与曲线CD相交的E,F,G三点,即

当x=-x1时， （3）

当x=-x0时， （4）

当x=x1时， （5）

将（3）、（4）、（5）代入（1）得

（6）

由于式(2)与式(6)代表同一面积,故两式a0,a1中各项系数应分别相等,即

解方程组，得

上式结果说明,在离曲线CD的底边中点为±0.7071l(l为曲线CD的半长)处,设立两个纵坐标eE及gG,并量取它们的数值和中点处纵坐标OF的数值,然后将三个纵坐标的数值相加,再乘以共同系数2/3l,即得曲线CD的面积。1

上式是三坐标的乞贝雪夫法,式中括号内为各纵坐标值的总和,括号外为共同系数,其分子为曲线底边的总长度,即cd=L=2L;分母为所取的纵坐标数目n。1

同理,可推导出纵坐标数目n为2,3,4,5,6,7,8,9和10时的纵坐标位置,其曲线下面积的一般表达式为1

为了保证计算的精确性,在船舶静力学计算中一般采用9个以上的纵坐标数。用乞贝雪夫法进行船体计算时,需要绘制乞贝雪夫横剖面图,且读取纵坐标数值比较繁琐,不如梯形法、辛浦生法等方便,因此仅在手工计算大倾角稳性时应用,该方法也可以用做计算静矩和惯性矩等。1

乞贝雪夫法应用为了求得船体的各种性能,必须计算船体的一些截面积,面积重心以及排水体积,体积重心等。但由于船体形状复杂,难以用解析法获得,通常用近似计算方法来进行。常用的计算方法是数值积分法,如梯形法,辛浦生法和乞贝雪夫法等。这些近似计算法可用于手算,而且也是电算的基础。2

本词条内容贡献者为:

曹慧慧 - 副教授 - 中国矿业大学