矛盾式

矛盾式(contradictory formula)又称永假式、不可满足公式，是逻辑演算的一类公式。如果对任意一个赋值V，都有V[A]=0，即公式A对任一赋值均取“假”值，则公式A为矛盾式。在逻辑演算中，公式按取值情况分为三种：对任一赋值都取“真”值的为恒真式，恒真式在命题演算中为重言式，在谓词演算中即为普遍有效式；对某些赋值取“真”值、对某些赋值取“假”值的为可满足但非恒真式；还有一类即为矛盾式。其中普遍有效式表达一定的逻辑规律，而矛盾式则表达一的逻辑矛盾1。

基本介绍矛盾式亦称“常假式”、 “永假式”、“不可满足式”、“真值函项的假命题”。

①命题逻辑中其值常假的真值形式。一个真值形式，若无论其所含命题变元取何值，其值总为假，则该真值形式就是矛盾式。 例如，p∧⌝p、⌝(p∨⌝p)、 p∧⌝(p∨q)等都是矛盾式。 一个真值形式是否为矛盾式，可用真值表判定。 例如， p∧⌝p 的真值表为 (以“T”表示真，以 “F”表示假)：

此表说明，无论命题变元p取何值， p∧⌝p的值总为假， 因此它是一个矛盾式。

②谓词逻辑中其值常假的公式。一个谓词逻辑的公式，若无论选择怎样的非空个体域，无论用什么表示特定个 体的词和表示特定性质或关系的词分别代替公式中的自由个体变元和谓词变元，并且无论用什么具体命题代替公式中的命题变元，其结果总是得到一个假命题，则这个谓词逻辑的公式就是一个矛盾式。例如，(∃x)(F(x)∧⌝F (x))、(∀x) F(x)∧(∃x)⌝F (x)、(p∧⌝p)∧F(x) 等都是矛盾式2。

相关介绍对于命题公式A，如果对A中命题变元的一切指派，A的真值都为真，则称命题公式A为重言式，又称永真式，记作T。

如果对A中命题变元的一切指派，A的真值都为假，则称命题公式A为矛盾式，又称永假式，记作F。

如果对A中命题变元的一切指派，A的真值有真有假，则称A为可满足式。

那么任何一个公式肯定是永真式、永假式和可满足式三种公式中的一个，判定一个公式是这三类公式中的哪一个往往称为公式的判定问题，目前我们可以借助真值表有效判定。

很显然，当A是永真式(永假式)时，¬A必为永假式(永真式)3。

【例1】对任何公式A，A∨¬A是重言式，A∧¬A是矛盾式3。

【例2】下列命题都是矛盾式：

对于矛盾式，也有类似于定理1和定理2的结果。

定理1 任何两个重言式的析取或合取，仍是一个重言式。

证明 设A、B为两个重言式，则无论对A与B的分量作何种指派，总有AT，BT，故A∨BT，A∧BT。

定理2 一个重言式，对同一分量用任何合式公式置换，所得公式仍为一重言式。

证明 因为重言式的真值与分量的指派无关，所以对同一分量用任何合式公式置换后，重言式的真值仍永为真。

例如，P∨¬P为一重言式，用Q∧R置换P。所得新公式(Q∧R)∨¬(Q∧R)仍为重言式4。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学