等边圆柱

等边圆柱(equilateral cylinder)是一种特殊的圆柱，轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱，等边圆柱有时也称为正圆柱。等边圆柱是高与底面圆直径相等的直圆柱。等边圆柱可以外接一个球及内切一个球。

基本介绍等边圆柱是一个直圆柱，若其高与其底面直径相等，则称其为等边圆柱。通过等边圆柱旋转轴的平面截圆柱，截面为正方形。

等边圆柱可内切一球，古希腊数学家阿基米德曾发现内切球的体积和表面积，都分别为圆柱体积及表面积的 ，阿基米德墓碑上就刻着圆柱容球图，以资纪念1。

【例1】证明：表面积相等的正方体、等边圆柱和球，它们的体积中，球的体积最大，等边圆柱次之，正方体最小。

证明：设正方体、等边圆柱和球的体积分别为 ，正方体棱长为a，等边圆柱和球的半径分别为r，R，

由它们的表面枳相等，可得 ，解得

由几何体体积公式可得

因此 ，球的体积最大，等边圆柱次之，正方体最小。

规律：表面相同，越圆则容积越大2。

相关介绍球的外切圆柱如果一个球恰好能内容于一个等边圆柱之中(即球与等边圆柱的两底面相切，球面与等边圆柱的柱面交于一个球的大圆)，这个圆柱就叫这个球的外切圆柱(图1)3。

阿基米德的发现杂草丝中，一座古坟，慕碑已经风化，字迹模糊不清。然而一个奇怪的标帜却隐约地映人人们的眼帘：碑顶部刻着一个等边圆柱以及它内切球的图形。了解数学史的人很快就会知道，这里长眠着古代最伟大的数学家阿基米德，已经有二千多年了4。

阿基米德(公元前287一前212年)在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱( 就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高)的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容积的2/3。假设圆柱底面半径为R，我们不难用公式来验算这个结论。圆柱的体积为

圆柱的体积=

球的体积=

阿基米德非常重视这个发现，嘱咐别人在他死后，能在他墓碑上刻上这个图形。这就是，上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。

阿基米德研究数学时聚精会神，可以说是废寝忘食。冬天吃饭时，他常坐在火盆旁，一手端着饭碗，一手在火盆的灰烬里画着几何图形，都忘了吃饭。

有一回， 因为一个数学问题没解决，他埋头钻研，一直没空去洗澡，身上很脏，发出一股难闻的气味。家里人硬把他推进浴室。那时候的人有个习惯，洗完澡后要在身上擦香油膏。阿基米德在浴室里洗了好半天都不见出来，家里人感到很奇怪，在门外喊他也不见回音，便推门进去一看，原来他正坐在浴盆旁的凳子上，用手蘸着香油膏在皮肤上划几何图形哩!他研究几何图形时，脸上总是笑呵呵的，嘴里还叽里咕噜，家里人说他像被神附了体一样。

阿基米德为人谦逊，对待科学严肃慎重。他曾说过，他的一切发现别人都会发现，他毫不隐讳自己作品中的错误。他在自己所写的《螺线论》这篇文章中，坦率地承认自己在以前的著作中所犯的某些错误，让读者从中吸取教训。人们非常赞赏他这种高尚的品德。恩格斯夸奖他是对科学作了“ 精确而有系统研究’ 的代表人物之一。一位俄国数学家还在著作中写下了赞美他的诗句:

这儿阿基米德出现了，

那古代的哲学家，

谁也不能和他相比拟，

他的功绩全世界第一4。

储油罐的设计原理当你乘着轮船，沿着黄浦江航行，眺望两岸时，就一定能见到许多盛有各种液体的贮油桶，它们高的几十米，矮的也有近十米，大小虽不一样，但看上去都显得十分“匀称”，既不“胖”，也不“瘦”。像这样底面直径和高恰好相等的圆柱体叫做等边圆柱。

贮液桶一般常做成等边圆柱。那么，它们为什么不做成“胖”的或者“瘦”的，而要做成胖瘦适中，看上去很匀称的等边圆柱呢?这不仅是为了外形的美观，更主要是为了节约造桶的材料。用数学语言来表达就是：在圆柱的容积V保持一定数值的情况下，圆柱体取什么样的形状，它的全面积达到最小。我们已经通过计算证明等边圆柱的全面积最小。

但我们应该注意，上面的结论只对有盖的圆柱适用。如果无盖的圆柱，做成等边圆柱就不是最省料的了，而是应制成它的直径等于高的二倍的圆柱，它的形状看上去比较扁胖5。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所