布雷特-施奈德公式

布雷特-施奈德公式(Bretschneide formula)是关于四边形的一个面积公式，也称贝利契纳德(Bretschneider)公式，此公式由Bretschneide(1808~1878)于1842年提出，它是秦九韶的三斜求积公式的推广1。

基本介绍布雷特施奈德公式(Bretschneide formula) 设简单四边形的四边为a、b、c、d，两对角线为e、f，则面积

若四边中有一边退缩为零，上述公式即成秦九韶公式(三斜求积公式)。如当d=0时，则e=c，f=a，

这即秦九韶公式(三斜求积公式)2。

若凸四边形内接于圆，则ef=ac+bd，于是面积

(此处p为凸四边形的半周)，后一结论亦称“婆罗摩笈多定理”1。

婆罗摩笈多定理(Brahmagupta theorem)：公元七世纪印度数学家婆罗摩笈多曾经证明了下面两个定理：（1）如果圆内接四边形的两条对角线互相垂直，那么过其交点所作一边的垂线必将对边平分；（2）见上述“布雷特施奈德公式”。

Bretschneide公式的证明Bretschneide公式 若简单四边形的四边长为a、b、c、d，两对角线长为e.f，则该四边形的面积为3

此公式由Bretschneide(1808~1878)于1842年提出，它是秦九韶的三斜求积公式的推广。若在上述公式中令d = 0，e = c，f= a，则得到三角形面积公式

如图1，简单四边形ABCD中，记AB=a,BC= b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f，作CF⊥BD于F，AE⊥BD于E，作CP// BD交AE或其延长线于P，则3

|| ||

设M是BD的中点，则

即

即

⑵－⑶得

即

所以

比较⑴与⑸式，知

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所