共轭圆束

共轭圆束(conjugate pencil of circles)亦称伴随圆束，平面几何术语。指具有某种共性的两个圆束，即两个垂直相交的圆束，与已知圆束垂直相交的圆有无限多个，这些圆又组成一个新的圆束，这样的两个圆束称为共轭圆束，若两共轭圆束之一是椭圆型的，则另一个圆束必是双曲型的；若两共轭圆束之一是抛物型的，则另一个圆束也是抛物型的。

基本介绍若一个圆集里的圆两两的等幂轴是同一直线I，这圆集就叫做圆束，也叫做共轴圆系，l叫做圆束的等幂轴，圆束也就是同一平面内同时通过两个定点的一族圆(这两点可以为实点，也可以为虚点)1。

若已知圆束中的两圆

和

则圆束的方程为

其中m，n是参数， 。上述方程中，若 ，则方程表示一直线，该直线即圆束的等幂轴。

若圆束中所有圆都通过其中一圆与等幂轴的两个交点，则称这样的圆束为椭圆型圆束。

若圆束中所有的圆都和等幂轴切于一点，则称圆束为抛物线型圆束。

若圆束中所有的圆都和等幂轴无交点，则称圆束为双曲线型圆。

对于一个圆束，有无数多个圆与其中所有圆正交，这些圆之集合称为已知圆束的共轭圆束，椭圆型圆束与双曲线型圆束共轭，抛物线型与抛物线型圆束共轭。

利用圆束可以研究等幂轴，亦可用来解决几何作图问题1。

相关结论两个圆束若具有性质：其中一个圆束中的每一个圆都与另一圆束中的每一个圆正交，则称之为共轭圆束，每一个椭圆型圆东恰好有一个共轭圆束，它是个双曲型圆束；反之，任一给定的双曲型圆束的唯一共轭圆束总是椭圆型的。抛物型圆束则可配成共轭对2。

对于任意给定的两个圆K₁和K₂，恰好存在一个同时含有它们的圆束，此圆束为椭圆型、抛物型或双曲型乃是由所给两圆有两个交点、一个交点或没有交点而定。

两个相交或相切的圆总可以用适当的麦比乌斯变换，分别映照为两条相交或平行的直线；两个没有公共点的圆，可以通过同样的方法映照为两个同心圆。

在一个圆束之中，总恰有一条直线，除非此圆束退化为同心圆或平行直线。事实上，这条直线是所给圆束之共轭圆束的圆心的轨迹。

在黎曼球面上球极投影为平面圆东的圆族可以用很简单的措词加以描述。因为，倘若我们考虑球面上的一个圆K，并过K的点Q作与K正交的球面切线，则所有这些切线必相交于空间一点P(也可以是∞)。反之，每一条过P的球面切线与球面相遇于K的点Q。但点P是K的平面(关于球面)的极。于是，球面上两个圆互相正交，当且仅当一个圆的平面通过另一个圆的平面的极，并且反之亦然，亦即当且仅当它们的平面互为共轭时。

现在考虑球面上的两个圆K₁和K₂，并设它们的平面的极分别是P₁和P₂，设g是联结P₁和P₂的直线，通过g的平面束截球面得一族圆，它们在平面上的球极投影产生一个圆束，这个圆束将根据g与球面有两个、一个或没有交点而决定它是椭圆型的、抛物型的或双曲型的，在以g为轴的平面束中，所有平面的极之轨迹是一条直线g’，直线g'可用以构造刚从g得到的圆束的共轭圆束2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所