布洛赫球面

量子力学中，以自旋物理与核磁共振专家费利克斯·布洛赫（Felix Bloch）姓氏命名的布洛赫球面是一种对于双态系统中纯态空间的几何表示法。在讨论量子位元的场合上常常运用到。1

简介量子力学是在hilbert空间或投影hilbert空间数学表达式。量子系统的纯态空间由相应希尔伯特空间（或投影希尔伯特空间点）的一维子空间给出。对于二维希尔伯特空间，这是一条简单的复杂投影线。

布洛赫球是一个单位二维球面，每一对对应点对应相互正交态矢。布洛赫球面的北极和南极通常分别对应于电子的自旋向上态和自旋向下态标准基矢的0态和1态，反过来也符合。然而，这种选择是任意的。

球面上的点对应系统的纯态，然而其内部点对应相应的混合态。布洛赫球也可以的推广到n能级的量子系统，但是其可视化很少有用。

在光学中，布洛赫球又称为庞加莱球特别代表偏振的不同类型。存在6种一般的偏振类型被称为琼斯矢量。布洛赫球体上的自然度规是富比尼–施图迪度量。这个图是三维的单位球在二维态矢空间cc到布洛赫球面是霍普夫纤维化。

与纯态对应对量子位元这样的二阶量子系统而言，其存在的可能状态（采用狄拉克标记的右矢表示）可以由两个互相正交的基底以复数线性叠加所构成，这两个基底可以选用为代表。在物理实作上，代表了做投影式量子测量所会得到的唯二结果。

从任意纯态出发：

故可设：

其中称作共同相位（global phase），因为对都一样影响，而在实验上测量不出来，故可以将之舍弃不看。

至于相对相位(relative phase) 就不同了，它的影响可以在球面上表现出来。故得：

可以看到的系数是实数，并且在原先所代表的是复数的长度（模、幅值，amplitude），故结果要是非负实数；亦是如此道理。故可定出的范围如下：

将的所有分布在三维空间中画出来，就可以得到一个球面，此即布洛赫球面。

可以注意到正交（有“垂直，呈90度关系”的意思）的两个基底，在此几何表示法下成为一轴的两端，变成180度关系。通常设定它们处在z轴，即：

是；是；离球心距离皆是1。

与混合态对应布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的扩充，混合态（mixed state）会出现在球内（离球心距离