幂法求矩阵特征值

幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。

定义幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量1。

基本思想若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始n维向量 ，构造如下序列：

(1)

当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系，分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。

假定矩阵A有n个线性无关的特征向量。n个特征值按模由大到小排列：

│r1│ │r2│ ... │rn│ (2)

其相应的特征向量为：

(3)

它们构成n维空间的一组基。任取的初始向量 由它们的线性组合给出

(4)

由(1)中的序列可以递归得到

(5)

将(4)代入(5)有

(6)

将 代入(6)中有

(7)

下面按模最大特征值r1是单根的情况讨论：

由此公式(7)可写成

(8)

若a1≠0，由于 / ,( ),故k充分大时，

其中εk为一可以忽略的小量，这说明 与特征向量V1相差一个常数因子，即使，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。

特征值按下属方法求得：

(9)

其中 ， 分别为 ， 的第j个分量。

计算方法实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量“归一化”即用的按模最大的分量 , 去除 的各个分量，得到归一化的向量 ，并令

由此得到下列迭代公式 ：

当k充分大时，或当║ ║