共轭矩阵

埃尔米特矩阵又称自共轭矩阵、Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等（然而矩阵A的共轭矩阵并非Hermite阵）。自共轭矩阵是矩阵本身先转置再把矩阵中每个元素取共轭得到的矩阵。

基本信息当为复矩阵时，用表示a的共轭复数，记，则为A的共轭矩阵。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是

对于

有：

为共轭算符。

记做：

例如：

就是一个Hermite阵。

显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例1。

性质若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是Hermite阵。

可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。

如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.

方阵C 与其共轭转置的和 是Hermite阵.

方阵C 与其共轭转置的差是skew-Hermite阵。

任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:

Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。

n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。

如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。

共轭矩阵满足下述运算规律（设A，B为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）；

（1）右侧图中第一行

（2）右侧图中第二行

（3）右侧图中第三行

序列Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：

若n 是偶数，则an/2是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列。反之，一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所