非直谓定义法

非直谓定义法(the method of impredicative definition)是一种下定义的方法，指被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象之中的定义方法，亦即“借助于一个总体来定义一个概念，而这个概念本身又属于这一总体”。例如：自然数全体N中最小的那个自然数0；一切序数组成的良序集W的序数β；一切良序集所组成的良序集θ；一切集合所组成的集合E等。庞加莱((J.-)H.Poincaré)曾在1905年、1906年和1908年多次指出，所有的悖论都与非直谓定义有关1。

基本介绍与举例关于悖论的成因，Poincaré曾在1905、1906、1908年多次指出。所有的悖论都与非直谓定义有关。何谓非直谓定义?就是“被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象中"。说得更明确一点，就是“借助于一个总体来定义一个概念，而这个概念本身又属于这一总体”。举例如下：

例1 自然数全体N中最小的那个自然数1。

在这里被定义的对象是自然数“1”，但借以定义“1"的概念是“最小”和“自然数全体N”，但在定义“自然数全体N”时，首先要借助于每个自然数，其中包括“1"这个自然数在内，这就是借助于总体N来定义1，而1本身又属于总体N。

例2 李家庄村上年纪最大的人H。

这里被定义的对象是H这个人，但当我们对H下定义时，一方面借助了“年纪最大”的概念，特别是借助了“李家庄村上所有的人所组成的总体G”这一概念，但要定义总体G的话，又要借助李家庄村上每一个人，其中包括H这个人在内，这就是借助于总体G来定义H，而H本身又属于总体G。如图1所示。

例3 一切序数所组成的良序集W的序数 。

如图2所示。

例4 一切正序集所组成的良序集 。

每一良序集对应于一个序数，故把一切良序集汇成总体后，再按每一良序集所对应的序数的大小为次序把这个总体排成良序集 ，如图3所示。

例5 一切集合所组成的集合。

如图4所示。

非直谓定义法的分类以上五例都是非直谓定义法，但它们构成非直谓定义的具体过程却有所不同，按其不同的情况可作如下的分类：

广义非直谓凡是非直谓定义中的被定义对象，可用直谓定义法重新定义者，亦即被定义的对象并非只能借助于包括它的总体来加以定义者叫做广义非直谓。如例1中的自然数“1"，既可借助于N来定义，也可不借助于N而用直谓定义法重新定义。又如例2中的H，既可借助于G来定义，也可用“李大娘的老伴"、“王小二的祖父"等等直谓地定义H。

狭义非直谓凡是非直谓定义中的被定义对象非借助于总体不可，亦即被定义的对象只能借助于这一总体才能定义，如例3中的序数 。由于序数 就是良序集W的序数 ，如果丢开总体W，如何来讲W的序数呢?亦即因为 是W的 ，不是别的 ，那么 就只能借助于W来定义它了。又看例2，设想有一个不是李家庄村上的外地人K，并且K对李家庄村上的人和事一无所知，现在K要到李家庄村上找年纪最大的人H了解一件事，那么K到李家庄后，如何向李家庄村上的人来表达“他要找H问事"这个意思呢?在此时此刻对这个特定的人K来说，就非借助于总体G来向别人询找H这个人了。因此，例2本来是广义非直谓，但广义非直谓之下的这个H相对于特定条件下的特定的K而言，就成为狭义非直谓之下的H了。

等价式的非直谓凡是非直谓定义中的被定义对象仅借助于“总体本身就是什么”这样的等价式刻画来确定的，则称为等价式的非直谓。如例4中的被定义对象就是通过“ 本身就是一个良序集"这样的等价式刻画来确定的。例5中的被定义对象也是通过“一切集合的集合就是一个集合"这种自身等于自己的方式来刻画的。如果把这种等价式的刻画亦算作一种自相的定义方式的话，当然也须纳入非借助于总体定义的情形中去，因此，等价式非直谓是狭义非直谓的特殊情形，而狭义非直谓又是广义非直谓的特殊情形。如用记号“A B”来表示A是B的特殊情形，那么三种非直谓定义法的关系是：

等价式非直谓 狭义非直谓 广义非直谓

综上所述，可将三种非直谓图示如下：

以上关于非直谓定义法的分析讨论，亦即关于它们的分类和各类非直谓之间的关系，对于我们了解悖论的成因和寻找排除悖论的出路有密切的关系2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学