基于Galerkin法的多项式逼近方法在电力系统分析参数问题中的应用现状

来源：电力系统自动化

引文信息：

Hao Wu, Danfeng Shen, Bingqing Xia, Yiwei Qiu, Yongzhi Zhou and Yonghua Song. Parametric Problems in Power System Analysis: Recent Applications of Polynomial Approximation Based on Galerkin Method [J]. Journal of Modern Power Systems and Clean Energy, 2021, 9(1): 1-12.

Parametric Problemsin Power System Analysis: Recent Applications of Polynomial Approximation Basedon Galerkin Method

基于Galerkin法的多项式逼近方法在电力系统分析参数问题中的应用现状

作者：吴浩，申丹枫，夏冰清，邱一苇，周永智，宋永华

电力系统存在诸多不确定性因素，例如分布式发电（DG）、负荷波动等，这些因素在本文中统称为参数，它们深刻地影响着电力系统的安全稳定运行。为了便于分析，一个非常重要的问题就是获取系统状态或性能与这些参数之间的显式函数关系，即本文中的“参数问题”；如果参数还服从某种概率分布，那么量化系统状态的概率不确定性将同样重要，即随机问题或者不确定性量化问题。目前流行的参数问题求解方法主要包括灵敏度法、采样-拟合法等，随机问题求解方法主要包括蒙特卡洛法、累积量法、点估计法等，这些方法存在计算量较大、计算精度不足等缺陷。本文基于已有的工作，介绍了一种求解参数问题和随机问题的新方法——基于Galerkin法的多项式逼近方法，并分别针对用参数化非线性代数方程组、参数化非线性规划、参数化微分-代数方程组描述的三大类参数问题，详细叙述了其求解过程，并总结了其在电力系统中的应用实例。

1电力系统参数问题

1) 参数定义：本文所指的参数是一个一般性的概念，包含任意可以量化成连续变量的因素。具体来说，其可以是系统的控制和运行变量，例如发电机可调有功和机端电压；也可以是系统模型中的参量，例如发电机的成本系数和机组的转动惯量；还可以是不可控的随机因素，例如风光等分布式发电的功率输出。

2) 参数问题的目的和意义：目的是寻找一个近似描述参数和状态之间关系的显式函数。所得显式函数将作为原模型的代理模型，进而可以非常方便地对系统的特性进行分析、优化等，而不再需要重新求解复杂耗时的原模型。

3) 随机问题与参数问题的关系：参数可以是定义在区间上的普通变量，也可以是服从一定概率分布的随机变量，此时问题将变为求取状态变量的概率分布，即随机问题。从求解过程上看，随机问题可以视为参数问题的一种特殊情形，可以先将其作为普通的参数问题求解以得到显式函数关系，然后再结合一些额外的概率和统计操作来求得状态变量的概率分布。
4) 参数问题的分类：从数学上来说，根据描述参数和状态关系的方程类型，可以将它分成三大类：参数化非线性代数方程组问题、参数化非线性规划问题以及参数化微分-代数方程组问题，如图1所示。

图1 电力系统参数问题分类

2基于Galerkin法的多项式逼近方法

1) 多项式逼近法：该方法用一个多项式函数去逼近任意函数，此多项式函数由一系列多项式基函数线性组合而成，组合系数称为展开系数。根据魏尔斯特拉斯定理，闭区间上的任意连续函数都可以用多项式函数一致逼近。

2) Galerkin法基本思想：该方法是求取（多项式）函数逼近式中待定展开系数的一种方法，其基本思想是通过方程组的残差与一组基函数正交而求得系数。该方程具有计算精度高、理论严谨的特点。由于该方法涉及很多公式，所以在此不详细介绍。

3) 求解参数化非线性方程组：先将系统状态量表示为关于参数的展开系数待定的多项式函数，将其代入方程组中；然后令方程组左右两端之差与一组给定的基函数的内积为0；计算出内积后，参数被消去,只剩未知系数，因此可得到关于系数的非线性方程组；使用牛顿法等方法求解该非线性方程组，得到系数以及多项式逼近函数。

4) 求解参数化非线性规划：过程与求解参数化非线性方程组大致相同，但需要结合优化理论中的内点法、障碍函数等。

5) 求解参数化代数微分方程组：过程与求解参数化非线性方程组类似，但由于状态变量是时变的，所以多项式逼近式和展开系数也是时变的。最终得到关于系数的一组微分代数方程组，使用隐式梯形积分法或者龙格库塔法等可解出系数，得到系统微分变量和代数变量的多项式逼近式。

3Galerkin法在电力系统参数问题中的应用实例

1) 随机潮流：目的是分析由负荷波动和DG出力的概率不确定性所引起的系统状态量（包括节点电压、相角等）的概率不确定性，其最终要获取的是状态量的期望、方差和概率分布。根据其计算结果，能够得到母线电压和线路潮流越限的概率，从而分析系统的风险等。从数学上看，该问题属于参数化非线性代数方程组问题，可以使用基于Galerkin法的多项式逼近法直接求解。由于它是随机问题，因此有两种处理方法。一种是将其作为普通的参数问题求解，在获得参数和状态量之间显式函数关系后再考虑参数的概率分布；另一种是在求取函数关系式时考虑参数的概率分布、根据概率分布选取对应多项式基函数，即广义多项式混沌法。从概率测度的角度来说，后者精度稍高。

2) 局部静态电压稳定域边界(SVSRB)的逼近：SVSRB是参数空间中的一个超曲面，它将参数空间分成稳定部分和不稳定部分。根据稳定判据的不同，SVSRB可以分成鞍结分叉面、实用安全约束面等，前者判据是潮流雅可比矩阵奇异，而后者判据是发电机无功或者节点电压等于临界值。这些判据均用参数化代数方程组表示，包含了参数以及潮流状态量。由于SVSRB对应于超曲面，故该方程组只有参数数量减一个自由变量，剩余的一个参数和所有状态量都是这些自由变量的隐式函数，因此可以使用基于Galerkin法的多项式逼近法求解。

3) 全局SVSRB的逼近：上述SVSRB分别针对一个稳定判据，在实际系统中可能存在许多判据，需要求得满足所有判据限制的稳定域边界，即全局SVSRB。分别求取每个局部SVSRB再合并不仅计算量大，而且合并过程非常麻烦。通过将该问题建模成参数化非线性规划问题，可以一次性求得全局SVSRB。假设参数增大会恶化稳定性，那么当触发稳定判据时，参数继续增大将会造成不稳定，所以在稳定边界上（即临界稳定）参数将取得最大值。因此，可以构造以作为因变量的参数最大为目标、潮流方程为等式约束、稳定判据为不等式约束的参数化非线性优化问题，从而使用基于Galerkin法的多项式逼近法求解。

4) 考虑参数不确定性的时域动态仿真：参数的不确定性不仅会影响稳态，也会影响动态，于是就有了考虑参数不确定性的时域动态仿真问题。该问题由包含网络方程、网络-发电机接口方程以及发电机动态方程的参数化微分-代数方程组描述，可以直接使用基于Galerkin法的多项式逼近法求解。

总的来说，本文介绍的方法给出了一个多项式形式的代理模型用以简化原本复杂的物理模型，可以应用于传统灵敏度方法能应用的问题，从而大幅提高分析精度。具体来说，可能的应用包括随机潮流衍生出的各类问题、参数化最优潮流、模型预测控制等的系统动态控制、小干扰稳定分叉面的求解和考虑稳定性约束的电力系统运行参数优化等。