线性二次型次优控制

使用二次型性能指标的线性定常系统次优控制或准最优控制。

定义使用二次型性能指标的线性定常系统次优控制或准最优控制。线性二次型最优控制要求使用全部状态变量反馈，因为最优控制应该由反映系统内部状态的全部信息参与组合。但在工程实际中，并非所有的状态变量都是能够测取或易于测取的。例如，最优控制规律为u*=Kx，x是状态向量，u*是最优控制，但矩阵K的元素不是都能自由选择的。还由于系统在物理方面的约束，某些增益被固定了，相对缺少灵活性。再者，全部状态可能不能都被取来供反馈，而必须构造状态观测器，相对而言复杂性加大。

这样，就出现了次优控制问题。这时，只使用能够取到的状态变量实施反馈，反馈矩阵K的某些元素则是受约束的。这样，达不到“最优”，只能是“次优”。1

次优控制规律定常系统的状态方程为

x=Ax+Bu (1)

式中x为n维状态向量;u为p维控制向量。

设系统完全可控，性能指标为

式中R为正定实常数对称矩阵;Q为正半定实常数对称矩阵。

次优控制规律是诸状态变量的线性组合

u(t)=Kx(t) (3)

式中K为p×n常数矩阵。闭环系统的方程为

将控制向量表达式(3)代入式(2)，得

应用李雅普诺夫方法，设一个李雅普诺夫函数

V(x)=1/2xTPx (6)

式中P为正定实常数对称矩阵。随之，有

接着可建立下述方程，P和K的函数关系由之确定

关于K的全部可用的元素kij，使J=1/2xT(0)×Px(0)取极小，即令

可以得到次优控制规律。对应于次优控制的矩阵K还必须满足进一步的约束，使闭环系统是渐近稳定的。

输出反馈有些情况下，将输出向量乘以适当的反馈矩阵，构成控制向量，这是输出反馈。具有输出反馈的调节器也是一种次优控制，它的反馈信息是不完全的。但是，次优控制不是只有输出反馈一种情况。具有输出反馈的调节器与输出调节器是不同的，输出调节器性能指标向输出变量提要求，但其最优控制规律还是全状态反馈。2

本词条内容贡献者为:

曹慧慧 - 副教授 - 中国矿业大学