投射柱面

投射柱面(projecting cylinder)是柱面的一种，已知一条空间曲线及一个平面，以此平面的法线方向为母线方向，空间曲线为准线，所产生的柱面，叫做这条曲线关于这个平面的投射柱面。通常取坐标面为定平面。利用空间曲线的投射柱面可以比较准确地作出曲线的图形1。

基本介绍过曲线上各点作平行于某一方向的直线，所有这些直线构成的柱面，称为该曲线沿某一方向的投射柱面。在空间直角坐标系下，沿某一坐标轴的方向，曲线的投射柱面的方程中，缺一个变数，研究空间曲线常用这类二元方程。例如，对于空间曲线

分别消去两个方程中的y，z得曲线的投射柱面方程：x²-4z=0，x²+y²=4y.从而知道所给曲线是圆柱面x²+(y-2)²=4与抛物柱面x²=4z的交线。这时容易将曲线的普通方程化为参数方程2

说明 一般地说，任意两个投射柱面的交线即表示原曲线，但对例1中的曲线用球面和在xy面上的投射柱面来表示则比较容易看出它的形状。

由例1可见，已知空间一条曲线的方程时，可以推出它关于三个坐标面的投射柱面的方程，于是可以选取两个比较简单的投射柱面的方程作为这条曲线的方程，因此在描绘某条曲线时，就可以描绘这两个柱面的交线(在画法几何上将这交线称为贯线)。例2、例3说明作图的方法1。

相关定理定理已知空间曲线

则从两方程中消去z，即得出它关于xy面的投射柱面的方程。

证明 我们推求以已知曲线为准线，z轴方向为母线方向的柱面方程。设 是已知曲线上一点，则

过此点的母线方程是

将(2)代入(1)，得 ，从这两方程消去 ，也即从已知两方程消去z，则得到所求投射柱面的方程1。

例题解析【例1】求维维安尼曲线(本章第二节例2)关于三个坐标面的投射柱面。

解: 1.从 中消去z，即得关于xy面的投射柱面，这是一个直圆柱面(图1)。

2.由已知两方程相减得z2=a(a-x)，此即关于zx面的投射柱面，这是一个抛物柱面(图1)。

3.由z2=a(a-x)与y2=x(a-x)相除，得，再代入z2=a(a-x)中，得z4=a2(z2- y2)这是关于yz面的投射柱面(图1)。

【例2】求作二柱面x²+y²-2x=0，x²+z²-4=0 的交线。

解:先作出各柱面与其母线所垂直的坐标面的交线(图2)，然后取一平面，使与x轴(即与二柱面母线都不平行的轴)垂直，设此平面的方程为x=k，它与x轴的交点为K，此平面与坐标面上的交线交于A、B、C、D四点，且过每点必有一对应柱面的母线通过，此四条母线都在平面x=k上，四条母线的交点E、F、G、H也是二柱面交线上的四点，如令平面x=k取不同的位置，即可得出足够的点以作出曲线(图3)。

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【例3】求曲线2x²+z²+4y=4z, x²+ 3z²-8y=12z关于三个坐标面的投射柱面，并作此曲线。

解:从已知方程分别消去x,y,z，即得曲线关于三个坐标面的投射柱面，它们分别是：

z²-4y= 4z，

x²+z²= 4z，

x²+4y= 0.

图4表示第二与第三两个柱面所相交的原曲线，它的画法与例2的方法相似1。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学