鞋匠刀形

鞋匠刀形(arbeloa)是一种特殊的图形，若C是线段AB上的任一点，分别以AB，BC，CA为直径且在AB的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形1。

基本介绍《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其阿拉伯文译本至今尚存，包括属于阿基米德等一些天才的几何定理，其中有一-些是关于鞋匠刀形(arbelos)的，即由在同一直线上的三个半圆围成的图形被阿基米德称为arbelos(希腊语中是鞋匠刀的意思，如图1所示)。

鞋匠刀形是一个十分漂亮又略显诡异的图形，阿基米德在经过艰苦的运算之后求得了与三个半圆都相切的圆的半径关系。五百年后，帕普斯把以下事实描绘为一个古代问题的结果：如果在鞋匠刀内画一连串相切的圆，那么第n个圆的圆心离底线的高度是它的直径的n倍，如图2所示2。

阿基米德的证明问题：鞋匠刀形的面积与线段AC有着什么样的关联？如果鞋匠刀形内两个内切圆位于AC的两侧，并与AC相切，那么这两个圆又有着什么样的关联?

阿基米德证明了鞋匠刀形的面积等于以AC为直径的圆的面积。如果鞋匠刀形内两个内切圆位于AC的两侧，并与AC相切，那么这两个圆相等2。

具体解答过程如下：

由题意，三角形ADB是直角三角形，C是D的垂足，所以有:

题目要求的面积是一个大半圆的面积减去两个小半圆的面积，所以有

这正好是AC为直径的圆的面积。可见阿基米德的结论是正确的。

再来看第二个问题。如上图所示，设大圆的圆心为O，两个相切的圆的圆心为O₁和O₂，两个小圆的圆心为O₃和O4。圆O₁和O₂的切点为D，圆O₃和O4的切点为B，圆O₃和垂线的切点为C，圆O4和垂线的切点为E，O₃作向圆O的直径的垂线，垂足为A，O4作向圆O的直径的垂线，垂足为F。圆O、O₁、O₂的半径分别为R、R₁、R₂，则R=R₁+R₂。设圆O₃和O4的半径分别为x和y。

根据相切的关系，得出:O₁O₃=R₁+x，O₁A=O₁D－AD=O₁D－O₃C=R₁－x，OO₃=R－x，OA=OD－AD=R－2R₂－x。

由勾股定理，可以得出：

所以，代入上面的结果得出：

利用计算得出

现在我们再求y的值。

由勾股定理得

所以

也就是

计算得出

所以x=y，也就是圆O3和O4一样大。

即，如果鞋匠刀形内两个内切圆位于AC的两侧，并与AC相切，那么这两个圆相等2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所