逆相似边

逆相似边(inversely similar side)亦称逆平行线，是与三角形某一边有关的一条线段，指连结三角形两边上点的具有逆相似性的线段。设在△ABC的边AB和AC上分别取点D和E，使AB∶AC=AE∶AD，因而△AED∽△ABC，这时△AED与△ABC逆相似，线段DE称为△ABC的边BC的逆相似边，或称直线DE是边BC关于△ABC的逆平行线1。

概念若B'、C'分别是△ABC中AC和AB(所在直线)上的点，△ABC∽△A'B'C'且顶点排列顺序方向相反(即为镜像相似)，则称BC和B'C'为关于∠A的逆平行线。线段B'C'称为△ABC的边BC的逆相似边2。

逆相似边的性质逆相似边有如下性质（图1）：

(1)B、C、B'、C'四点共圆；

(2) 同边的逆相似边互相平行；

(3)三角形各边的逆相似边与该三角形的外接圆各顶点的切线平行。

逆相似边与类似中线关系密切，有性质：过三角形的一个顶点而平分对边的逆相似边是类似中线。2

逆相似边与陪位中线的性质陪位中线与逆平行线有如下性质：

在△ABC中，以BC为弦作一圆，与AB、AC交于点C'、B'，则∠AB'C'=∠B，就称B'C'为BC的逆相似边或逆平行线。在一个三角形中，

(1)同边的逆平行线平行；

(2)某边的逆平行线被这边陪位中线平分；

(3)过顶点平分其对边逆平行线的直线是陪位中线；

(4)被陪位中线平分的线段必为逆平行线。

证明：(1)结论是明显的。

(2)设M是BC中点，B'C'与BC陪位中线交于点M'(图略)，由△ABC∽△AB'C'及∠BAM =∠B'AM'，可得，即M'是B'C'的中点，AM'平分B'C'。

(3)若AM'平分B'C'，则有△AB'M'∽△ABM，∠B'AM =∠BAM，即AM'是BC的陪位中线。

(4)设BC的陪位中线平分线段B'C'于点M'，若B'C'不是BC的逆平行线，则过B、C、B’作一圆交AB于点C"，B'C"是BC的逆平行线，由(2)知B'C"被AM'平分，设中点为M"，则M'M"是△B'C'C"的中位线，得M'M"// AB，但AM'与AB相交于点A，矛盾，所以B'C'是BC的逆平行线。

举例分析勒穆瓦纳圆中的逆相似边三角形的第一Lemoine圆 过三角形陪位重心作三边的平行线与各边相交的六个交点共圆。

陪位重心：设△ABC的三条中线AM、BN、CL的交点为G(重心)，过A作AM'使∠CAM'=∠BAM，作BN'使∠ABN'=∠CBN，作CL'使∠ACL'=∠BCL，则AM'、BN’、CL'三线共点于K，这个点就称为三角形的陪位重心，AM'、BN'、CL'称为陪位中线。

该圆于1873年为Lemoine所得到。设K为△ABC陪位重心，过K作LM∥BC交AB、AC于L、M，作PQ∥AB交BC、AC于P、Q，作ST∥AC交BC、AB于S、T。

连结TQ、AK，因为四边形ATKQ是平行四边形，所以TQ与AK互相平分。因为AK是△ABC的陪位中线，所以过K点的关于BC的逆平行线也被AK平分，故而TQ为关于BC的逆平行线。

于是∠AQT=∠ABC=∠ALM，T、L、M、Q四点共圆。同理可证Q、P、S、M四点共圆，T、L、P、S四点共圆，从而得到T、L、P、S、M、Q六点共圆。

三角形的第二Lemoine圆：过三角形陪位重心作各边的逆平行线与各边相交的六个交点共圆。

该圆于1873年为Lemoine所得到。

逆平行线：过△ABC内任一点K，作直线交AB、AC于L、M，使△AML∽△ABC，但LM不平行于BC，则称ML为过K关于BC的逆平行线。三角形有三类这样的逆平行线。若K是陪位重心，则K将平分过K的三条逆平行线。

设K是陪位重心，LM、PQ、ST是过K点的逆平行线，因为

∠ALM=∠C，∠AML= ∠B，

∠BST=∠A，∠BTS=∠C，

∠CQP=∠B，∠CPQ=∠A，

所以∠ALM=∠BTS，△KTL是等腰三角形，其两腰KL= KT。

同理有KP = KS，KM = KQ。

又陪位重心K平分过K点的逆平行线，所以又有KL= KM，KP = KQ，KS = KT。

这样L、P、S、M、Q、T六点到K点的距离相等，从而这六点共圆。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所