量子傅立叶变换

量子傅里叶变换(quantum Fourier transform,QFT)是经典离散傅里叶变换的量子对应 , 是一种基本的量子逻辑门, 是各种量子算法的核心部件。

发展背景量子 傅 里 叶 变 换 ( Quantum Fourier Transform，QFT) 首次被 Shor 应用在大数质因子分解算法中，由于采用量子傅里叶变换后，算法的运行速度加快很多，因此，针对量子计算机，在以后的量子算法中，量子傅里叶变换作为最为关键的一个子程序被广泛应用。针对量子傅里叶变换的研究逐渐增多，HALLGREN等人采用改进的量子傅里叶变换对任意区间的周期函数进行应用，NAM Y S等人利用带状量子傅里叶变换对 Shor 算法定义了新的标定规则，取得了很好的搜索效果。南京航空航天大学的周日贵等采用量子傅里叶变换作为模式特征提取算法，并证明和验证了该算法的可行性和有效性1。

量子傅里叶变换的数学表述量子傅里叶变换能够在多种物理体系中得以实现, 包括核磁共振体系, 量子QED, 光量子 , 离子阱等体系. 同时量子傅里叶变换还能应用于量子通讯中, 用于实现多方之间的量子密钥分发.

量子傅里叶变换的数学表述如下, 给定任意正整数, 总有， 其中 , 任意量子态的量子离散傅里叶变换为：

通常情况下, 一个量子比特的量子傅里叶变换操作可以分解为一系列的单量子比特逻辑门和双量子比特逻辑门的组合, 这种分解使得实现比特的QFT的复杂性与 成正比. 随着量子位的增加, 量子傅里叶变换的实验时间必然显著增长, 进而导致量子计算任务的实验时间变长, 不利于其向高位扩展.

量子傅里叶变换的数值优化以线性耦合网络(Ising coupling)为例, 假设体系包含个自旋为1/2的量子比特, 相邻的两个自旋之间存在大小相等的标量耦合, 即 = = ··· = , = , 其余的耦合为0. 从理论上展示了量子位数不同时, 利用优化方法和传统方法实现QFT所对应的脉冲实验时间, 得出的结论是随着量子位数的增加, 优化方法能够极大地缩短脉冲时间. 这里我们主要讨论3量子位的QFT 的优化控制, 不同量子位的优化控制QFT的脉冲时间对照表可知, 线性耦合的三量子比特优化控制QFT逻辑门需要的最短时间为2.05/J, 而用标准的逻辑门分解的方法则需要的时间为8.13/J. 很明显, 优化控制使得QFT的时间缩短了大约4 倍. 对于耦合常数为J = 88 Hz的三个自旋(I1 , I2 , I3 ), 我们利用OC-SIMPSON 软件编写了数值计算的优化控制程序, 通过条件对程序的参数进行调节, 得到了保真度为99.9% 的实现QFT的脉冲序列, 脉冲的幅度和相位随时间的变化如图1所示, 其中(a)为脉冲的幅度, (b)为脉冲的相位, 上下两行分别对应的是 1H,15N的幅度和相位, 整个脉冲的时间为23.3 ms. 为了验证得到的优化脉冲的有效性, 我们在核磁共振上实验实现了该脉冲2.

本词条内容贡献者为:

王慧维 - 副研究员 - 西南大学