实无限

实无限是在数学基础研究中，把无限作为一种已经形成了的对象来加以考察。持此实无限观点的最早的代表是柏拉图。

简介实无限是在数学基础研究中，把无限作为一种已经形成了的对象来加以考察。

发展持此实无限观点的最早的代表是柏拉图。

在微积分理论的萌芽时期，数学家们曾采取纯粹的实无限观念，即把无穷小看成一种固定的无穷小量。在法国柯西和魏尔斯特拉斯建立严格的极限理论后，无穷小量就被抛弃了，代之以潜无限即生成中的无限的观点。

直到20世纪60年代初罗宾逊建立了非标准分析，无穷小分析的方法才得以恢复。

在19世纪，潜无限的观念已在数学中占据了主要地位，而且这种倾向还发展到对实无限性对象的绝对排斥。

19世纪末，康托尔建立的集合论使实无限性重新成为数学的对象。

随着集合论悖论出现，围绕着数学无限的问题，数学哲学各流派间的争论至今仍在进行。1

实无穷数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。

哲学：有包含无穷多个无。

几何：线条包含无穷多个点。

算术：1包含无穷多个0。

物理：时段包含无穷多个时刻。

上面四个命题中的无穷多便是实无穷。这四个命题是彼此同构的。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学