数乘向量

数乘向量(scalar multiplication of vectors)是与一个实数和一个向量有关的一种向量运算，即数量与向量的乘法运算。n个相等的非零向量a相加所得的和向量，叫作正整数n与向量a的积，记为na。从这个狭义的定义中抽象出来，我们得到数乘向量的定义：一个数m乘一个向量a，结果是一个向量ma，称为数乘向量的积，其模是|m||a|，当m>0时，ma与a同向，当m0时， 与 同向；当k0时与a同向，当λ0，则(λ+μ)a,λa, μa同向，因此有

|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|=|λ||a|+|μ||a|=|λa|+|μa|=|λa+μa|，

所以有(λ+μ)a=λa+μa。

②如果λμ0,μ0和λ+μ0,μ0，这时-μ>0，因λ+μ>0，由①有：

(λ+μ)a+(-μ)a=[(λ+μ)+(-μ)]a=λa，

所以(λ+μ)a=λa-(-μ)a =λa+μa。

(4)如果λ=0或a,b之中有一个为0，等式显然成立。

下面证明λ≠0,a≠0,b≠0。

①若a, b共线，当a,b同向时，取 ；当a,b反向时，，

显然有a=mb。于是有

λ(a+b)=λ(mb+b)=λ[(m+1)b]=[λ(m+1)]b=(λm+λ)b=(λm)b+λb=λ(mb)+λb=λa+λb.

②若a,b不共线，如图1所示，显然由a,b为两边构成的△OAB与由a,b为两边构成的△OA₁B₁相似，因此对应的第三边所成向量满足,因,所以λ(a+b)=λa+λb。

从向量加法与数乘向量的运算规律知，对于向量也可以像实数与多项式那样去运算2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学