塔克圆

塔克圆(Tucker circle)是关于几个点共圆的问题，设K是△ABC的陪位重心，A′，B′，C′各是直线AK，BK，CK上的点，若A′B′∥AB，A′C′∥AC，则B′C′∥BC，且△A′B′C′与△ABC的非对应边所在直线的六个交点D，E，F，G，H，L在同一个圆上，这个圆称为△ABC的塔克圆。当A′，B′，C′三点依条件分别在直线AK，BK，CK上变动位置时，得到一系列的圆，称为塔克圆系1。

塔克圆的概念设K是△ABC的共轭重心，A'是AK上的点。

(1)若过A'作AB的平行线交KB于B'，过A'作AC的平行线交KC于C' ，则B'C' // BC。

(2)△A'B'C'与△ABC的非对应边(所在直线)的六个交点共圆，如图1。

该圆称为△ABC的塔克(Tucker)圆。

该结论是由英国数学家塔克提出的，当A’点在AK上变动时，就可以得到一群圆，称它们为塔克圆系2。

相关结论1)由于KB'：KB=KA'：KA=KC'：KC，

所以B'C' // BC，同理A'B' // AB，A'C' // AC，K是△ABC和△A'B'C'的相似中心。

2)设A'B'分别交BC，AC于Z，Z'，B'C'分别交AB，AC于X，X'，A'C'分别交AB，BC于Y，Y'。

由于四边形AYA'Z'是平行四边形，AA'平分YZ’，又由于K是△ABC的共轭重心，因此YZ'必是BC的逆平行线，∠AYZ'=∠ACB=∠AX'X，故Y，Z'，X'，X四点共圆。

同理X，Z，Y'，Y四点共圆，Z'，Z，Y'，X'四点共圆，显然上述三个圆实为同一圆，故X,X',Y,Y",Z,Z'六点共圆2。

显然，XZ,Y'X',YZ'是，上述圆中的三条等弦，因此塔克圆也可这样确定。

在△ABC中，作三条相等的线段P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃与△ABC的边分别逆平行，并且其中任意两条，例如P₂Q₂与P₃Q₃不仅在BP₂Q₃C的同侧，也在第三条线P₁Q₁的同侧，则P₂Q₃P₃Q₂是等腰梯形。P₃Q₂，P₁Q₃，P₂Q₁分别与△ABC的相应边平行，这些逆平行线的中点C₁,C₂,C₃在相应的共轭中线上，并将这些共轭中线分成相等的比；设T将KO分成同样的比，则TC₁,TC₂,TC₃分别平行于半径OA,OB,OC，并且TC₁=TC₂=TC₃，如图2。

因为逆平行线垂直于共轭中线，它们是一个以T为圆心的相等的弦，这个圆通过六个已知点P₁，Q₁，P₂，Q₂，P₃，Q₃，这个圆就是塔克圆。

塔克圆还有另一种作法，即从三角形一条边上任意一点开始，作一个封闭的六边形，它的边交替地与三角形的边平行或逆平行，至于开始先作逆平行线，还是先作平行线，则无关紧要，则逆平行的线段都相等，并且六边形的顶点在一个塔克圆上，这样的封闭六边形称为塔克六边形，若在同一条边上另取一点开始作塔克六边形，这些六边形都相似，且对应边互相平行。

我们回到图2，可以看出P₂Q₂，P₃Q₃与BC所成的角相等，都等于∠A，因此它们是等腰梯形的腰，我们又知道共轭中线平分逆平行线，所以C₁,C₂,C₃在共轭中线上，但C₂C₃//P₃Q₂//BC，因此分BK，CK成比例。设

因为△C₁P₁T≌△C₁Q₁T，等等，有TC₁=λR

所以这塔克圆的半径是

对λ的任意值，正负均可，都对应了一个塔克圆。

塔克圆的半径也有另一种形式，即

这两种表达方式自然是等价的2。

塔克圆系由上可见，由于λ(或)的任意性，塔克圆可以有无限多个，对于一些特定的λ(或)，可以得到三角形几何中一些著名的圆，如表12。

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本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所