爱可尔斯定理

爱可尔斯定理(Echols theorem)是欧几里得几何的两个著名定理，是关于两个以及三个正三角形有关性质的定理，爱可尔斯(Echols)于1932年发表了这些定理及其证明，证明采用复数的证法。定理1.若△Z₁Z₂Z₃和△U₁U₂U₃都是同向正三角形，则线段Z₁U₁，Z₂U₂，Z₃U₃的中点作成正三角形；定理2.若△Z₁Z₂Z₃，△U₁U₂U₃，△V₁V₂V₃都是同向正三角形，则△Z₁U₁V₁，△Z₂U₂V₂，△Z₂U₂V₂的重心作成正三角形。该定理是爱可尔斯(Echols)在1932年论述的，这两个定理故名爱可尔斯定理1。

定理及简史爱可尔斯定理1若△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是正三角形，则线段A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中点也构成正三角形。

爱可尔斯定理2若△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃都是正三角形，则△A₁A₂A₃、△B₁B₂B₃、△C₁C₂C₃的重心也构成正三角形。

这是爱可尔斯(Echols)1932年在美国《数学月刊》上论述过的问题(爱可尔斯定理1曾被芜湖市选用作为1983年中学生数学竞赛试题)2。

定理的证明首先我们证明爱可尔斯定理1，这个定理有多种证法，下面的证明是比较简捷的2。

证明 如图1，设正△A₁B₁C₁的边长为a，正△A₂B₂C₂的边长为b，A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中点分别为D、E、F，延长A₁B₁、A₂B₂交于M，A₁C₁、A₂C₂交于N，因为∠MA₁N=∠MA₂N = 60°，所以A₁、M、N、A₂四点共圆，所以∠M=∠N(设为α，0°≤α