凯西定理

在数学中，凯西定理（Casey's theorem），也称为广义托勒密定理，是欧几里德几何中以爱尔兰数学家 John Casey命名的定理。凯西定理及其反演可用于证明欧几里德几何中的各种陈述。

定理内容设 是一个半径为 的圆， 是（按此顺序）位于内部的四个不相交的圆圈， 和它相切， 表示圆 外部共同点的长度，然后1：

请注意，所有四个圆都减少到点情况下，这正是托勒密定理。

证明半径为 的圆 与圆 相切于点 ，用符号 表示圆的中心，毕达哥拉斯定理表示如下：

用点 来表示长度 。由三角形 的余弦定律，

因为圆 相切：

设 成为圆 上的一个点，根据三角形 的正弦定律：

因此，

代入上述公式：

最后，求得长度

现在可以评估等式左侧，借助于原始托勒密定理应用于内切四边形 :

进一步概括可以看出，四个圆圈不必位于大圆圈内。事实上，它们也可能与外界相切。在这种情况下，应做出以下改变：

（1）如果都是从同一侧切线（无论是在圆内还是在圆外）， 是外部公切线的长度；

（2）如果从不同的侧面切线，是内部公切线的长度。

凯西定理的放过来也成立，即，如果等式成立，则圆圈与公共圆相切。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所