陪位重心

陪位重心(symmedian point)亦称类似重心或勒穆瓦纳点，是与三角形重心有关的一个点。三角形三条陪位中线的交点，称为该三角形的陪位重心，即三角形重心的等角共轭点。若G是△ABC的重心，K是G的等角共轭点，则K是△ABC的陪位重心。勒穆瓦纳(É.M.H.Lemoine)于1873年，向法国科学进步协会会议提交的论文《三角形特殊点的某些性质》中，提出了有关几何结构的类似重心学说，后经多年的研究，使理论更完善而严密，形成一套包括基本公式、勒穆瓦纳圆定理等的三角形几何理论1。

基本介绍对于△ABC，它的重心设为M，在△ABC所在平面上另有一点M'，使有∠MAB=∠CAM'、∠MBC=∠ABM'、∠MCA=∠BCM'，则点M'叫做△ABC的类似重心，或者叫做陪位重心。

三角形的类似重心到三边距离的平方和达到极小值2。

陪位中线与陪位重心设△ABC的三条中线是AD、BE、CF，如果射线AX与AD关于∠BAC的角平分线对称，射线AX和BC边的交点是X，则线段AX叫做△ABC的一条类似中线，或叫做陪位中线，同样地，可以作出△ABC的另两边上的类似中线BY和CZ。

可以证明，一个三角形的三条类似中线交于一点，这一交点叫做这个三角形的类似重心，或叫做陪位重心。这是十九世纪由莱莫恩(E.Lemoine，1840~1912)引入的三角形的一个特殊点，所以又叫做莱莫恩点2。

相关结论及概念1. 过三角形陪位重心作三边的平行线与各边相交的六个交点共圆。

这个圆叫做第一勒穆瓦纳圆，该圆于1873年为Lemoine所得到。设K为△ABC陪位重心，过K作LM∥BC交AB、AC于L、M，作PQ∥AB交BC、AC于P、Q，作ST∥AC交BC、AB于S、T3。

连结TQ、AK，因为四边形ATKQ是平行四边形，所以TQ与AK互相平分。因为AK是△ABC的陪位中线，所以过K点的关于BC的逆平行线也被AK平分，故而TQ为关于BC的逆平行线。

于是∠AQT=∠ABC=∠ALM，T、L、M、Q四点共圆。同理可证Q、P、S、M四点共圆，T、L、P、S四点共圆，从而得到T、L、P、S、M、Q六点共圆。

**2.**过三角形陪位重心作各边的逆平行线与各边相交的六个交点共圆，这个圆叫做三角形的第二Lemoine圆(Second lemoine circle of triangle)。

该圆于1873年为Lemoine所得到3。

逆平行线：过△ABC内任一点K，作直线交AB、AC于L、M，使△AML∽△ABC，但LM不平行于BC，则称ML为过K关于BC的逆平行线。三角形有三类这样的逆平行线。若K是陪位重心，则K将平分过K的三条逆平行线。

设K是陪位重心，LM、PQ、ST是过K点的逆平行线，因为

∠ALM=∠C，∠AML= ∠B，

∠BST=∠A，∠BTS=∠C，

∠CQP=∠B，∠CPQ=∠A，

所以∠ALM=∠BTS，△KTL是等腰三角形，其两腰KL= KT。

同理有KP = KS，KM = KQ。

又陪位重心K平分过K点的逆平行线，所以又有KL= KM，KP = KQ，KS = KT。

这样L、P、S、M、Q、T六点到K点的距离相等，从而这六点共圆3。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所