镜像线

镜像线出现在关于几个点共线的问题中。△ABC的外接圆上的点P关于边BC，CA，AB的对称点X，Y，Z和△ABC的垂心H在同一条直线上，这条直线称为点是关于△ABC的镜像线。

简介镜像线出现在关于几个点共线的问题中。

△ABC的外接圆上的点P关于边BC，CA，AB的对称点X，Y，Z和△ABC的垂心H在同一条直线上，这条直线称为点是关于△ABC的镜像线（如图所示）。1

出处史坦纳定理是几何中的有名定理，其内容是：设△ABC的垂心为H，其外接圆上的任一点为P，△ABC关于点P的西摩松线通过线段PH的中点。

史坦纳定理的推论是：△ABC外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H在同一条直线上，该直线叫△ABC关于点P的镜像线。故镜像线是由史坦纳定理的应用定理得出。2

证明如图，EFG是D关于△ABC的西姆松线，由对称性，易知EF、EG分别是△DPR和△DRQ的中位线，所以PQR三点共线。

由对称性和垂心性质可知∠BPC=∠BDC=∠BAC=180°-∠BHC，所以B、P、C、H四点共圆；同理A、Q、C、H四点共圆，A、B、R、H四点共圆。

所以∠CHP+∠CHQ=∠CAD+∠CBD=180°，所以H在直线PQ上。

又由中位线性质，可知D关于△ABC的西姆松线过DH中点。

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胡建平 - 副教授 - 西北工业大学